[논문 리뷰] A residual-based bootstrap for functional autoregressions

Jürgen Franke, Euna Nyarige|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 18.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 차수 1의 기능적 자기회귀 과정(FAR(1))에 대해 잔차 기반 부트스트랩의 渐近적 타당성을 확립한다. 중심화된 표본 오차의 경험분포가 말로우스 거리 기준으로 진짜 오차 분포로 수렴한다는 것을 증명함으로써, 표본 평균과 경험공분산 연산자 추정치에 대한 부트스트랩을 통한 추론을 정당화한다.

ABSTRACT

We consider the residual-based or naive bootstrap for functional autoregressions of order 1 and prove that it is asymptotically valid for, e.g., the sample mean and for empirical covariance operator estimates. As a crucial auxiliary result, we also show that the empirical distribution of the centered sample innovations converges to the distribution of the innovations with respect to the Mallows metric.

연구 동기 및 목표

• 기능적 자기회귀 모형의 차수 1에 대해 잔차 기반 부트스트랩의 이론적 타당성을 확립하기 위해.
• 특히 종속적이고 무한차원 데이터의 맥락에서 기능적 시계열에 대한 종합적인 부트스트랩 이론의 부재를 해결하기 위해.
• 표본 평균과 경험공분산 연산자와 같은 핵심 통계량에 대한 부트스트랩 기반 추론을 위한 엄밀한 기초를 제공하기 위해.
• 기능적 시계열 분석에서 응용적 부트스트랩 사용과 이론적 정당성 사이의 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 잔차 기반 부트스트랩을 사용하여 중심화된 표본 오차 $ \hat{\epsilon}_t = X_t - \hat{\Psi}(X_{t-1}) $ 에서 재표본을 추출하며, 여기서 $ \hat{\Psi} $ 는 자기회귀 연산자의 추정치이다.
• 말로우스 거리 기준으로 중심화된 오차의 경험분포가 진짜 오차 분포로 수렴하는지를 측정하기 위해 말로우스 거리를 적용한다.
• 일반적으로 $ L^2[0,1] $ 인 $ \mathcal{H} $ 라는 힐버트 공간 프레임워크를 사용하며, 과정을 $ X_{t+1} = \Psi(X_t) + \epsilon_{t+1} $ 로 모델링한다.
• 말로우스 거리 기준에서 경험공분산 연산자의 수렴과 재표본 과정의 행동을 분석함으로써 부트스트랩의 타당성을 분석한다.
• 특히 $ \| \Psi - \hat{\Psi}_n \|_{\mathcal{L}} $ 와 $ d_2(F, \hat{F}_n) $ 에 중점을 두어, 오차 항을 제어하기 위해 연산자 노름과 확률적 경계를 사용한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 모멘트 조건을 활용하여 부트스트랩 오차 항에 대한 균일한 경계를 확립하며, 시간 색인에 대해 균일하게 $ o_p(1) $ 이라는 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔차 기반 부트스트랩은 기능적 자기회귀 과정의 차수 1에 대해 渐近적으로 타당한가?
• RQ2 중심화된 표본 오차의 경험분포는 말로우스 거리 기준으로 진짜 오차 분포로 수렴하는가?
• RQ3 기능적 시계열에서 표본 평균과 경험공분산 연산자에 대한 추론에 부트스트랩을 신뢰성 있게 사용할 수 있는가?
• RQ4 힐버트 공간 설정에서 부트스트랩 오차가 언제 渐近적으로 사라지는가?
• RQ5 부트스트랩은 기능적 자기회귀에서의 의존성 구조와 연산자 추정 불확실성을 어떻게 다루는가?

주요 결과

• 잔차 기반 부트스트랩은 기능적 자기회귀 모형의 차수 1에서 표본 평균과 경험공분산 연산자 추정치에 대해 渐近적으로 타당하다.
• 중심화된 표본 오차의 경험분포는 말로우스 거리 기준으로 진짜 오차 분포로 수렴한다.
• 공분산 연산자 추정치에 대한 부트스트랩 오차는 시간 색인에 대해 균일하게 $ o_p(1) $ 의 순서를 가진다.
• 모멘트 조건, 즉 $ \text{E}^*\|X_0^\prime\|^3 < \infty $ 와 $ \text{E}^*\|\epsilon_k^\prime\| < \infty $ 하에서 오차 분포의 수렴이 확립된다.
• 연산자 노름 경계와 말로우스 거리로 부트스트랩 근사 오차를 제어함으로써 재표본 과정의 일致성을 보장한다.
• 이론적 정당성은 작은 또는 중간 크기의 표본 크기에서도 기능적 시계열에서 임계값 추정과 예측 구간에 부트스트랩을 사용할 수 있음을 뒷받침한다.