[논문 리뷰] A Residual-Based Petrov-Galerkin Reduced-Order Model with Memory Effects

Eric Parish, Christopher Wentland외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 08.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 55인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 다스케일 동역계를 위한 잔차 기반 피트로프-갈레르킨 축소모델(Reduced-Order Model, ROM)을 제안한다. 이는 모리-츠완직(Mori-Zwanzig) 형식을 활용하여 잘린 미세스케일 동역학으로부터의 기억 효과를 기록하는 클로처 항을 유도함으로써, 압축성 라우아르-스톡스 유동의 1D 및 2D 시뮬레이션에서 표준 갈레르킨 및 최소제곱 피트로프-갈레르킨 ROM보다 더 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

We formulate a projection-based reduced-ordering modeling technique for non-linear multi-scale dynamical systems. The proposed technique is derived by decomposing the generalized coordinates of a dynamical system into a resolved coarse-scale set and an unresolved fine-scale set. The Mori-Zwanzig formalism is then used to develop a reduced-order representation of the coarse scales. This procedure leads to a closed model that is equivalent to a Galerkin reduced-order model with the addition of a closure term that accounts for the truncated dynamics. The formulation can alternatively be viewed as a Petrov-Galerkin method with a non-linear, time-varying test basis. The spectral radius of the projected Jacobian is shown to be a good approximation of the memory length. Numerical experiments on the compressible Navier-Stokes equations in one and two-dimensions demonstrate that the proposed method leads to improvements over the standard Galerkin ROM and, in some cases, over the least-squares Petrov-Galerkin (LSPG) approach.

연구 동기 및 목표

• 비선형 다스케일 동역계를 위한 표준 축소모델(Reduced-Order Model, ROM)에서 기억 효과의 부족을 해결하기 위해.
• 해결되지 않은 미세스케일 동역학의 영향을 해결된 거시스케일 행동에 반영할 수 있는 클로처 항을 개발하기 위해.
• 잔차 최소화에서 유도된 비선형이며 시간에 따라 변하는 시험 기저를 활용해 갈레르킨 투영과 결합된 ROM을 구성하기 위해.
• 복잡한 유동 시뮬레이션에서 표준 갈레르킨 및 최소제곱 피트로프-갈레르킨 방법을 초월하여 ROM 정확도를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 시스템의 일반화된 좌표를 해결된 거시스케일 성분과 해결되지 않은 미세스케일 성분으로 분해하기.
• 잘린 동역학을 위한 기억 의존 클로처 항을 포함하는 닫힌 축소모델을 도출하기 위해 모리-츠완직 형식을 적용하기.
• 유도된 모델을, 투영된 시스템의 잔차에서 유도된 비선형이며 시간에 따라 변하는 시험 기저를 갖는 피트로프-갈레르킨 방법으로 재구성하기.
• 클로처 항의 기억 길이를 근사하기 위해 투영된 자코비안의 스펙트럴 반경을 사용하기.
• 클로처 항을 통합하여 안정성과 정확도를 향상시키는 갈레르킨 투영 프레임워크 내에서 방법을 구현하기.
• 일차원 및 이차원 공간 차원에서의 탄성 라우아르-스톡스 방정식에 대해 접근법을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해결되지 않은 미세스케일 동역학으로부터의 기억 효과를 비선형 다스케일 시스템의 축소모델에 체계적으로 통합할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 시험 기저를 갖는 잔차 기반 피트로프-갈레르킨 설정이 표준 갈레르킨 및 최소제곱 접근법에 비해 ROM 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 투영된 자코비안의 스펙트럴 반경이 클로처 항의 기억 길이에 대한 신뢰할 수 있는 추정치로 기능하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 압축성 라우아르-스톡스 방정식으로 제어되는 복잡한 유체역학 시뮬레이션에서 장기간 시뮬레이션에서 제안된 ROM이 기존 방법을 초월하는가?

주요 결과

• 메모리 효과를 반영한 제안된 ROM은 탄성 라우아르-스톡스 유동의 시뮬레이션에서 표준 갈레르킨 축소모델보다 더 높은 정확도를 달성한다.
• 특히 장기적 동역학을 포착하는 데 있어, 일부 시험 케이스에서 최소제곱 피트로프-갈레르킨(LSPG) 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 투영된 자코비안의 스펙트럴 반경은 클로처 항의 효과적 기억 길이에 대한 신뢰할 수 있는 근사치를 제공한다.
• 비선형이며 시간에 따라 변하는 시험 기저를 갖는 잔차 기반 피트로프-갈레르킨 설정은 잘린 스케일로부터의 기억 효과를 효과적으로 포착한다.
• 1D 및 2D에서의 수치 실험은 비선형 다스케일 시스템에 대해 이 방법의 강건성과 향상된 예측 능력을 확인한다.