[논문 리뷰] A Residual Bootstrap for Conditional Expected Shortfall

Alexander Heinemann, Sean Telg|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 26.

Monetary Policy and Economic Impact참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 GARCH형 변동성 모델에서 조건부 기대손실(ES)을 추정하기 위해 고정설계 잔차 부트스트랩 방법을 제안하며, VaR에서 ES로의 점점 더 타당한 점근적 결과를 확장한다. 이는 Beutner 등(2018)의 조건 하에서 부트스트랩이 일致성 있음을 보이며, 다양한 설정에서 시뮬레이션을 통해 커버리지 비율이 만족스럽다는 것을 보여주며, 세 가지 부트스트랩 구간 유형 중 어느 것도 뚜렷한 이점이 없음을 시사한다.

ABSTRACT

This paper studies a fixed-design residual bootstrap method for the two-step estimator of Francq and Zakoïan (2015) associated with the conditional Expected Shortfall. For a general class of volatility models the bootstrap is shown to be asymptotically valid under the conditions imposed by Beutner et al. (2018). A simulation study is conducted revealing that the average coverage rates are satisfactory for most settings considered. There is no clear evidence to have a preference for any of the three proposed bootstrap intervals. This contrasts results in Beutner et al. (2018) for the VaR, for which the reversed-tails interval has a superior performance.

연구 동기 및 목표

• 조건부 VaR에서 조건부 기대손실(ES)으로 잔차 부트스트랩 방법론을 확장하여 더 일관된 리스크 측정법을 제공한다.
• 일반적인 변동성 모델 하에서 이단계 추정기의 유한표본 분포를 정확히 포착하는 부트스트랩 절차를 개발한다.
• Beutner 등(2018)의 조건과 동일한 규칙성 조건 하에서 고정설계 잔차 부트스트랩의 조건부 ES 추정기의 점근적 타당성을 확립한다.
• 유한표본에서 조건부 ES에 대한 다양한 부트스트랩 신뢰구간(예: 백분위수, 스터디언타입, 뒤집힌 尾部)의 성능을 평가한다.
• 금융 리스크 관리 응용 분야에서 조건부 ES에 대한 부트스트랩 신뢰구간을 구성하는 실용적 알고리즘을 제공한다.

제안 방법

• 이중단계 추정 절차를 채택한다: 첫째, GARCH형 변동성 모델의 모수에 대한 준최우도(QML) 추정; 둘째, 잔차를 이용한 오차 분포의 ES 추정.
• 적합된 모델의 추정 잔차에서 재표본을 추출하는 고정설계 잔차 부트스트랩을 제안하며, 시간적 의존성 구조를 유지한다.
• 부트스트랩을 통해 이단계 ES 추정기의 표본분포를 근사화하여 신뢰구간을 구성할 수 있도록 한다.
• Beutner 등(2018)의 규칙성 조건을 만족하는 일반적인 조건부 변동성 모델 클래스에 적용한다.
• 비교 평가를 위해 백분위수, 스터디언타입, 뒤집힌 尾部의 세 가지 유형의 부트스트랩 신뢰구간을 구성한다.
• 점근적 이론과 약한 수렴 논증을 활용하여, 가정된 모델과 모멘트 조건 하에서 부트스트랩의 일致성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Beutner 등(2018)의 조건과 동일한 조건 하에서 고정설계 잔차 부트스트랩이 이단계 조건부 기대손실 추정기의 점근적 타당성이 있는가?
• RQ2 백분위수, 스터디언타입, 뒤집힌 尾部의 다양한 부트스트랩 구간 유형이 조건부 ES의 커버리지 확률 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ3 중요한 꼬리가 있는 오차 분포가 존재할 경우, 부트스트랩 방법이 조건부 ES의 추정 불확실성을 충분히 포착하는가?
• RQ4 Beutner 등(2018)에서 VaR에 대해 뒤집힌 尾部 구간이 다른 것들보다 뛰어났던 것과 비교해, ES에 대한 부트스트랩의 성능은 어떻게 되는가?
• RQ5 다양한 변동성 및 오차 분포 설정 하에서 조건부 ES에 대한 부트스트랩 기반 신뢰구간의 유한표본 행동은 어떠한가?

주요 결과

• Beutner 등(2018)이 제시한 조건 하에서 고정설계 잔차 부트스트랩은 이단계 조건부 기대손실 추정기의 점근적 타당성이 있다.
• 시뮬레이션 결과는 대부분의 고려된 설정에서 부트스트랩 신뢰구간의 평균 커버리지 비율이 만족스럽다는 것을 보여주며, 이는 신뢰할 수 있는 유한표본 성능을 의미한다.
• 백분위수, 스터디언타입, 뒤집힌 尾部의 세 부트스트랩 구간 유형 간에 명백한 선호도가 없으며, 시뮬레이션 연구에서 커버리지 비율이 유사하다.
• Beutner 등(2018)에서 VaR에 대해 뒤집힌 尾部 구간이 뚜렷이 뛰어났던 것과 대비하여, ES 추정에서는 다른 행동 양태를 보임을 시사한다.
• 부트스트랩 방법은 특히 오차 분포가 꼬리가 두꺼운 경우(예: 스트루덴트-t 분포)에 조건부 ES의 추정 불확실성을 효과적으로 포착한다.
• 이론적 결과는 규칙성 조건 하에서 부트스트랩 분포가 이단계 ES 추정기의 진짜 표본분포로 수렴함을 확인하며, 추론에의 활용을 뒷받침한다.