[논문 리뷰] A review of geometric, topological and graph theory apparatuses for the modeling and analysis of biomolecular data

Kelin Xia, Guo‐Wei Wei|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 227인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 생물분자 데이터의 모델링 및 분석을 위한 기하학적, 위상수학적, 그래프 이론적 방법을 종합적으로 검토하고, 분석적 최소 분자 표면, 헤시안 행렬 고유값 지ap, 곡률 지도, 가상 입자 모델과 같은 새로운 연속적이고 이산적인 수학적 도구를 도입한다. 생물물리 모델과 고급 수학 이론 사이의 연결 고리를 구축하여, 단백질-리간드 결합 및 위상수학적 데이터 분석에 적용되는 생물분자의 구조, 기능, 동역학을 통합적으로 이해할 수 있는 프레임워크를 제시한다.

ABSTRACT

Geometric, topological and graph theory modeling and analysis of biomolecules are of essential importance in the conceptualization of molecular structure, function, dynamics, and transport. On the one hand, geometric modeling provides molecular surface and structural representation, and offers the basis for molecular visualization, which is crucial for the understanding of molecular structure and interactions. On the other hand, it bridges the gap between molecular structural data and theoretical/mathematical models. Topological analysis and modeling give rise to atomic critical points and connectivity, and shed light on the intrinsic topological invariants such as independent components (atoms), rings (pockets) and cavities. Graph theory analyzes biomolecular interactions and reveals biomolecular structure-function relationship. In this paper, we review certain geometric, topological and graph theory apparatuses for biomolecular data modeling and analysis. These apparatuses are categorized into discrete and continuous ones. For discrete approaches, graph theory, Gaussian network model, anisotropic network model, normal mode analysis, quasi-harmonic analysis, flexibility and rigidity index, molecular nonlinear dynamics, spectral graph theory, and persistent homology are discussed. For continuous mathematical tools, we present discrete to continuum mapping, high dimensional persistent homology, biomolecular geometric modeling, differential geometry theory of surfaces, curvature evaluation, variational derivation of minimal molecular surfaces, atoms in molecule theory and quantum chemical topology. Four new approaches, including analytical minimal molecular surface, Hessian matrix eigenvalue map, curvature map and virtual particle model, are introduced for the first time to bridge the gaps in biomolecular modeling and analysis.

연구 동기 및 목표

• 생물분자 시스템 모델링을 위한 기하학적, 위상수학적, 그래프 이론적 접근법을 체계화하고 통합하는 것.
• 원자 수준의 생물분자 데이터와 미분기하학, 대수적 위상수학, 스펙트럼 그래프 이론과 같은 추상적 수학 이론 사이의 격차를 메우는 것.
• 표면 에너지 최소화의 변분 유도를 통한 분석적 최소 분자 표면 모델, 헤시안 고유값 지도, 곡률 지도, 가상 입자 모델과 같은 새로운 계산 도구를 도입하여 생물분자 분석을 향상시키는 것.
• 모르스 이론, 포incare-홉프 정리, 라플라스-베르트라미 연산자 등을 포함한 생물물리 모델과 기초 수학 프레임워크 사이의 연결 고리를 구축하는 것.
• 다양한 척도 및 영구 동역학 기반 모델링에 중점을 두어 수학 생물학 분야의 열린 문제와 향후 연구 방향을 규명하는 것.

제안 방법

• 모델링 접근법을 이산적(예: 그래프 이론, 영구 동역학, 스펙트럼 그래프 이론) 및 연속적(예: 미분기하학, 변분 최소 표면) 프레임워크로 분류한다.
• 분자의 탄성과 강성 분석을 위한 새로운 스칼라 필드 기술인 헤시안 행렬 고유값 지도를 도입한다.
• 표면 곡률 분석을 위한 위상수학적 지문으로서 가우스 곡률, 평균 곡률, 최대 곡률 및 최소 곡률 지도를 제안한다.
• 표면 에너지 최소화의 변분 유도를 통해 분석적 최소 분자 표면 모델을 개발한다.
• 고유벡터장의 동역학을 시뮬레이션하고 분자의 운동 및 안정성 분석을 위해 가상 입자 모델을 적용한다.
• 영구 동역학을 다양한 척도 및 다차원 필터링과 결합하여 원자 고리, 파its, 공동과 같은 위상적 불변량을 포착한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적, 위상수학적, 그래프 이론적 도구가 생물분자의 구조와 기능을 체계적으로 통합하여 모델링할 수 있는가?
• RQ2 생물물리 모델(예: 정규 모드 분석, 가우시안 네트워크 모델)과 미분기하학, 대수적 위상수학 사이의 수학적 기초는 무엇인가?
• RQ3 헤시안 고유값 지도 및 곡률 지도와 같은 새로운 위상수학적 기술이 분자의 동역학 및 안정성 분석을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 영구 동역학이 다양한 척도 및 다차원 생물분자 데이터에 어떻게 적응되어 기하학적 및 위상적 특징을 유지할 수 있는가?
• RQ5 오브제クト 지향적 영구 동역학 설계에서 필터링 과정 동안 생물학적으로 관련된 특징을 자동으로 추출할 수 있는 열린 문제는 무엇인가?

주요 결과

• 분석적 최소 분자 표면 모델은 표면 에너지 최소화를 위한 닫힌 형태의 해를 제공하여 생물분자 표면 표현의 정확성과 효율성을 향상시킨다.
• 헤시안 행렬 고유값 지도와 곡률 지도는 분자의 탄성, 강성 및 국소 표면 형태를 드러내는 새로운 기하위상수학적 지문으로 도입된다.
• 가상 입자 모델은 고유벡터장의 동역학을 시뮬레이션하여 집합적 분자의 운동과 안정성에 대한 통찰을 제공한다.
• 다양한 척도 및 다차원 필터링을 적용한 영구 동역학은 생물분자의 원자 고리, 파its, 공동과 같은 위상적 불변량을 성공적으로 포착한다.
• 스펙트럼 그래프 이론과 PDE 기반 모델의 통합은 자유 에너지 최소화 공식화를 가능하게 하여 용매, 이온 채널, 단백질-리간드 상호작용의 모델링을 향상시킨다.
• 라플라스-베르트라미 연산자와 영구 동역학 사이의 이론적 연결 고리를 확립하여 기하학적 특징을 위상 분석 중 유지하는 오브제кт 지향적 필터링을 가능하게 한다.