[논문 리뷰] A Review on Realization Theory for Infinite-Dimensional Systems

Birgit Jacob, Hans Zwart|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽 반평면에서 해석적이고 유계인 모든 함수 $ G(s) $가 강한 연속 반군을 생성하는 유계 연산자 $ A $, 제어 연산자 $ B $, 관측 연산자 $ C $를 갖는 상태공간 표현을 가짐을 증명함으로써 무한차원 시스템에 대한 종합적인 실현 이론을 수립한다. 주요 기여는 전이 함수와 잘 정의된 선형 시스템 사이의 통합된 프레임워크를 제공하여 오랜 기간 동안 남아있던 무한차원 시스템 이론의 이론적 질문들을 해결하고, 명시적인 연산자 이론적 구성 방법을 제시하는 데 있다.

ABSTRACT

We give an introduction to the realisation theory for infinite-dimensional systems. That is, we show that for any function $G$, analytic and bounded in the right half of the complex plane, there exists operators $A,B,C$ such that $G(s_1)-G(s_2) = (s_2-s_1) C(s_1 I-A)^{-1}(s_2 I-A)^{-1}B$. Here $A$ is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup on a Hilbert space, and $B$ and $C$ are admissible input and output operators, respectively. Our results summarise and clarify the results as found in the literature, starting more than 40 years ago.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 시스템에 대한 실현 이론에 관한 수십 년에 걸친 연구를 통합하고 명확화하기 위해.
• 오른쪽 반평면에서 해석적이고 유계인 전이 함수에 대해 상태공간 실현의 존재를 확립하기 위해.
• 반군 이론과 잘 정의된 연산자를 사용하여 전이 함수와 잘 정의된 선형 시스템 사이의 관계를 체계화하기 위해.
• 무한차원에서의 제어 가능성, 관측 가능성 및 실현의 동치성과 관련된 기초적 질문을 해결하기 위해.
• 무한차원 시스템 이론 분야의 연구자들이 사용할 수 있는 자율적이고 접근 가능한 참고 자료를 제공하기 위해.

제안 방법

• 잘 정의된 선형 시스템 이론, 특히 살라몬과 웨이스의 프레임워크를 활용하여 잘 정의된 제어 및 관측 연산자를 정의한다.
• 가중치가 있는 $ L^2 $-노름을 갖는 함수의 힐베르트 공간 $ V $를 구성하고, $ V $ 위에서 반군 $ T(t) $를 정의한다.
• 제어 및 관측 연산자의 적합성을 확보하기 위해 상태공간을 더 큰 힐베르트 공간 $ V_1 $로 확장한다.
• 제어 연산자 $ B_1 = G $ 및 관측 연산자 $ C_1x = \hat{x}(0) $를 정의하고, 노름 추정을 통해 그들의 적합성을 보여준다.
• 라플라스 변환과 펠리-위너 정리를 적용하여 오른쪽 반평면에서의 $ L^2 $-함수와 $ H^2 $-공간 간의 관계를 규명한다.
• 해결함수 항등식과 연산자 확장을 활용하여 전이 함수 항등식 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오른쪽 반평면에서 해석적이고 유계인 모든 함수는 무한차원에서 잘 정의된 선형 시스템의 전이 함수로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에 대해 잘 정의된 제어 및 관측 연산자가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 근사적 제어 가능성과 관측 가능성 등의 성질은 실현의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 두 실현 모두 근사적으로 제어 가능하고 관측 가능하더라도, 왜 일부 실현은 서로 동치가 아니어야 하는가?
• RQ5 $ H^2 $-공간과 펠리-위너 정리는 이러한 실현을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 오른쪽 반평면에서 해석적이고 유계인 임의의 함수 $ G(s) $는 힐베르트 공간 위에서 강한 연속 반군을 생성하는 무한소 생성자 $ A $를 갖는 상태공간 실현을 가진다.
• 전이 함수와 해석함수 연산자 간의 기본 항등식 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $이 성립하며, 이는 전이 함수를 해석함수 연산자와 연결한다.
• 잘 정의된 제어 연산자 $ B $와 관측 연산자 $ C $가 존재하여, 살라몬과 웨이스의 정의에 따라 시스템이 잘 정의된 것으로 보장된다.
• 근사적으로 제어 가능하고 근사적으로 관측 가능한 실현을 구성할 수 있지만, 반드시 정확히 관측 가능하지는 않다.
• 이 실현은 유한차원 실현과 동치가 아니며, 관측 연산자가 컴act일 경우 유한시간 내 정확한 관측 가능성은 성립하지 않는다.
• 구성 과정을 통해 근사적으로 제어 가능하고 관측 가능한 실현이 모두 동치가 아니라는 점을 입증하며, 무한차원 시스템에서의 구조적 차이를 부각시킨다.