[논문 리뷰] A revised pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle

Jinghui Qiu|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원래 프레임워크가 처리할 수 없었던, 약한 τ-함수를 포함하는 집합값 Ekeland 변분원리(set-valued Ekeland variational principles, EVPs)를 다룰 수 있도록 개선된 전순서 원리(pre-order principle)를 제안한다. 개선된 원리는 원래 원리의 적용 범위를 확장하여, 편미분이 서로 다른 점들에서 0이 될 수 있는 경우에도 대응할 수 있도록 스칼라화 조건을 수정함으로써, Khanh와 Quy의 EVP을 포함한 모든 알려진 집합값 EVP들을 집합 포함 형태로 일반화한다.

ABSTRACT

In my former paper "A pre-order principle and set-valued Ekeland variational principle" (see: arXiv: 1311.4951[math.FA]), we established a general pre-order principle. From the pre-order principle, we deduced most of the known set-valued Ekeland variational principles (denoted by EVPs) and their improvements. But the pre-order principle could not imply Khanh and Quy's EVP in [On generalized Ekeland's variational principle and equivalent formulations for set-valued mappings, J. Glob. Optim., 49 (2011), 381-396], where the perturbation contains a weak $τ$-function. In this paper, we give a revised version of the pre-order principle. This revised version not only implies the original pre-order principle, but also can be applied to obtain the above Khanh and Quy's EVP. Thus, the revised pre-order principle implies all the known set-valued EVPs in set containing forms (to my knowledge).

연구 동기 및 목표

• 원래 전순서 원리가 약한 τ-함수를 포함하는 집합값 EVP를 다룰 수 없는 한계를 해결하기 위해, p(x,x′)가 x≠x′이어도 0일 수 있는 경우를 다룰 수 있도록 한다.
• 원래 원리를 포함하면서도 Khanh와 Quy의 EVP에 약한 τ-함수를 적용할 수 있도록 확장된 전순서 원리를 개발한다.
• 일관된 이론적 프레임워크 내에서 모든 알려진 집합값 EVP들을 집합 포함 형태로 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 편미분 함수가 서로 다른 점들에서 0이 될 수 있는 경우를 다룰 수 있도록 조건 (B)와 (C)를 수정한 개선된 전순서 원리를 도입한다.
• 원래의 스칼라화 조건을 대체하여, 서로 다른 z₁, z₂ ∈ S(x)에 대해 η(x) > min{η(z₁), η(z₂)}를 만족시키는 더 강력한 조건을 도입함으로써, 단조성 하에서의 구별성이 유지되도록 한다.
• 개선된 원리를 적용하여 균일공간과 국소凸공간에서 r-거리, p-거리, q-거리에 대한 집합값 EVP를 도출한다.
• 증명 프레임워크에서 수열의 수렴을 보장하기 위해 순차적 완비성과 S(x)-동적 완비성을 q-거리에 대해 사용한다.
• 국소凸공간에서의 스칼라화를 가능하게 하기 위해 {pα}의 가중치 함수와 관련된 선형 함수 ξα의 가중치 집합을 도입한다.
• 유계성과 완비성 가정에 기반하여 ∑p(zi,zi+1)pα(hi)와 ∑p(zi,zi+1)의 수열 수렴을 확립하고, 이로부터 한계점 u의 존재를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 전순서 원리는 편미분 함수가 서로 다른 점들에서 0일 수 있는 약한 τ-함수를 포함하는 집합값 EVP를 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 개선된 전순서 원리는 r-, p-, q-거리가 포함된 모든 알려진 집합값 EVP들을 집합 포함 형태로 포함하고 일반화하는가?
• RQ3 약한 τ-함수 존재 조건 하에서 최소점의 존재를 보장하기 위해 전순서 집합과 편미분 함수에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 비정규 편미분 함수 존재 조건 하에서 스칼라화 기법은 어떻게 수정되어야 하며, 이로 인해 구별성이 유지되는가?
• RQ5 국소凸공간에서 가중치 함수 {pα}와 선형 함수 ξα를 사용하여 벡터값 편미분 함수를 포함하는 EVP를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 개선된 전순서 원리는 원래 원리가 처리할 수 없었던 Khanh와 Quy의 약한 τ-함수를 포함하는 집합값 EVP를 성공적으로 유도한다.
• 개선된 원리는 Ha, Qiu, Bednarczuk과 Zagrodny, Gutiérrez 등, Tammer와 Z̆álinescu, Flores-Bazán 등, Liu와 Ng, Bao와 Mordukhovich의 EVP을 포함한 모든 알려진 집합값 EVP들을 집합 포함 형태로 일반화한다.
• 조건 (B)는 S(x) 내의 두 서로 다른 점이 동일한 최소 η-값을 가질 수 없음을 보장하여, 스칼라화 과정에서의 구별성이 유지됨을 보장한다.
• p-거리의 경우, ∑p(zi,zi+1)pα(hi)와 ∑p(zi,zi+1)의 수렴이 보장되며, 이는 공간 Y의 유계성과 l∞-완비성에 의해 확보된다.
• q-거리의 경우, S(x₀)-동적 완비성 가정에 의해 p(xₙ,u)→0를 만족하는 한계점 u의 존재를 보장하며, 이는 EVP 도출에 기여한다.
• 가중치 함수 {pα}와 관련 선형 함수 ξα를 도입함으로써, 국소凸공간으로의 프레임워크 확장이 가능해졌으며, 이는 벡터값 설정에서의 스칼라화를 가능하게 한다.