[논문 리뷰] A Riesz-Haviland type result for truncated moment problems with solutions in $L^1$

Călin-Grigore Ambrozie|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 28.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $L^1(T, dt)$에 속하는 representing 밀도를 갖는 truncated moment 문제에 대해 Riesz-Haviland 유형의 특성화를 수립한다. 즉, such 밀도가 존재함과 동시에 관련된 Riesz 함수 $\varphi_g$가 정규 닫힌 집합 $T$ 위의 음이 아닌 다항식에서 엄격히 양이 되는 경우에만 성립함을 보여준다. 주요 기여는 support에 대한 정규 조건 하에서 moment cone의 조밀한 내부를, $L^1$-밀도 representing 측도를 갖는 데이터의 집합으로 식별하는 데 있다.

ABSTRACT

We give a version of the Riesz-Haviland theorem for truncated moments problems, characterizing the existence of the representing measures that are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. The existence of such representing densities describes the dense interior of the convex cone of all data having nonnegative Borel representing measures. A natural regularity assumption on the support is required.

연구 동기 및 목표

• Truncated moment 문제에서 Lebesgue 측도에 대해 절대 연속인 representing 측도의 존재를 특성화하기 위해.
• 비음수 $L^1$-밀도가 정규 닫힌 집합 $T\subset\mathbb{R}^n$ 위에 존재할 때, 그 순간들이 truncated moment 문제의 해를 이루는 조건을 규명하기 위해.
• 모든 비음수 Borel representing 측도를 갖는 moment sequence의 콘의 조밀한 내부를 형성하는 $L^1$-밀도 해를 갖는 moment sequence의 집합이 되는 것을 보여주기 위해.
• Curto와 Fialkow의 결과에 의존하지 않고, 대신 함수해석학적 도구와 고전적 Riesz-Haviland 정리를 기반으로 한 독립적인 특성화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 닫힌 집합 $T\subset\mathbb{R}^n$에 대해 정규성의 개념을 도입하여, $T$의 각 점 주변의 모든 이웃에서 양의 Lebesgue 측도를 갖도록 하며, 위상적 및 측도 이론적 정규성을 보장한다.
• 좌표별 0-1 조합에 대해 닫혀 있는 $\mathbb{Z}_+^n$의 정규 인덱스 집합 $I\subset\mathbb{Z}_+^n$을 정의하여 moment 함수와의 호환성을 확보한다.
• Riesz-Haviland 정리를 기초로 삼고, $T$ 위의 음이 아닌 다항식에서 Riesz 함수 $\varphi_g$의 엄격한 양성을 분석함으로써, 이 정리를 truncated 경우로 확장한다.
• Hahn-Banach 및 Krein-Mazur 유형의 추론을 적용하여 함수를 유지하면서 엄격한 양성을 보존하는 확장을 통해 전역적인 양성 함수를 구성한다.
• 모든 비영인 $p\in P_I$에 대해 $\varphi_g p > 0$이면, 국소적으로 균일한 양성이 성립하며, 이는 moment 공간 내에서 $g$의 이웃에서 동일한 조건이 유지됨을 의미한다.
• 콤���성과 쌍대성을 사용하여 엄격한 양성이 비음수 다항식의 콘 위에서 하한 $\varphi_g p \geq c\|p\|$를 보장함을 보이고, 이를 통해 전체 moment sequence로의 반복적 확장을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 닫힌 집합 $T\subset\mathbb{R}^n$에 대해 truncated moment sequence가 $L^1(T, dt)$에 속하는 representing 밀도를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 관련된 Riesz 함수의 양성 성질에 기반해 $L^1$-밀도 해의 존재를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 비음수 Borel representing 측도를 갖는 모든 moment sequence의 콘 안에서 $L^1$-밀도 해를 갖는 moment sequence의 집합의 위상적 구조는 어떠한가?
• RQ4 Curto-Fialkow 확장 정리에 의존하지 않고 $L^1$-밀도 해의 특성화를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비영인 다항식 $p\in P_I$에 대해 $p(t)\geq 0$이면 $\varphi_g p > 0$인 경우, truncated moment sequence $g=(g_i)_{i\in I}$는 $L^1_+(T, dt)$에 속하는 representing 밀도 $f$를 갖는다.
• 모든 비음수 Borel representing 측도를 갖는 moment sequence의 콘의 조밀한 내부를 형성하는 $L^1$-밀도 해를 갖는 moment sequence의 집합이다.
• 모든 비영인 $T$에서 음이 아닌 $p$에 대해 $\varphi_g p > 0$인 엄격한 양성 조건은, $P_I$의 비음수 다항식 단위 구면 위에서 하한 $\varphi_g p \geq c\|p\|$의 존재와 동치이다.
• 증명은 $\varphi_g$를 고차수 다항식 공간으로 점진적으로 양성 확장을 반복하는 수열을 구성함으로써, 최종적으로 $\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$ 위의 양성 선형 함수를 도출한다.
• 이러한 함수의 존재는 $g$의 순간을 갖는 비음수 Borel 측도 $\nu$가 존재함을 보장하며, 엄격한 양성과 $L^1$-정규성에 의해 $\nu$는 Lebesgue 측도에 대해 절대 연속임을 보장한다.
• 이 결과는 $T$가 정규적이라는 가정 하에 성립하며, 이는 $T$의 모든 점이 Lebesgue 밀도점이 되어, 모든 이웃에서 양의 측도를 갖는다는 것을 의미한다.