[논문 리뷰] A Ring Isomorphism and corresponding Pseudoinverses

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott외 1명|ArXiv.org|2008. 10. 01.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n\times n$ 행렬 중 모든 행과 열의 합이 0인 행렬의 집합과 $(n-1)\times(n-1)$ 행렬의 전체 집합 사이의 링 동형사상을 수립한다. 이는 하위 차원 공간을 통합하는 데 사용되는 행렬 $J_n$ 를 통한 변환을 통해 이루어지며, 이 동형사상은 모어-펜로즈 가역행렬의 구조를 유지한다. 이는 감소된 차원 공간에서 표준 역행렬로의 매핑을 가능하게 하여, 이 클래스에 속하는 랭크 결손 행렬에 대해 가역행렬의 명시적 계산과 투영 연산자 $X^+X$ 의 특성 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper studies the set of $n imes n$ matrices for which all row and column sums equal zero. By representing these matrices in a lower dimensional space, it is shown that this set is closed under addition and multiplication, and furthermore is isomorphic to the set of arbitrary $(n-1) imes (n-1)$ matrices. The Moore-Penrose pseudoinverse corresponds with the true inverse, (when it exists), in this lower dimension and an explicit representation of this pseudoinverse in terms of the lower dimensional space is given. This analysis is then extended to non-square matrices with all row or all column sums equal to zero.

연구 동기 및 목표

• 모든 행과 열의 합이 0인 $n\times n$ 행렬의 대수적 구조를 분석한다.
• 이러한 행렬이 모든 1의 벡터를 영 고유벡터로 가지므로 싱귤러함(표준 행렬 역행렬이 불가능함)이 발생하는 문제를 해결한다.
• 이러한 싱귤러 행렬에 대해 모어-펜로즈 가역행렬을 체계적으로 계산하는 방법을 개발한다.
• 특히 랭크 결손의 경우에 대해 이러한 행렬에 대한 투영 연산자 $X^+X$ 의 범위를 특성 기술한다.
• 이 프레임워크를 비제곱 행렬 및 영 행 또는 열을 가진 행렬로 확장하여 동형사상과 가역행렬 대응 관계를 유지한다.

제안 방법

• 행렬 $J_n = [I_n \mid -\mathbf{1}]$ 를 사용하여 변환 $\phi: M_n \to S_{n+1}$ 를 정의한다. $\phi(X) = J_n^* X J_n$ 로서, $n\times n$ 행렬을 행과 열의 합이 0인 $(n+1)\times(n+1)$ 행렬로 매핑한다.
• 왜곡된 곱 $X \circ Y = X K_n Y$ 를 도입하여, 여기서 $K_n = J_n J_n^*$ 이며, $M_n$ 에 표준 행렬 연산에 대해 $S_{n+1}$ 과 동형인 링 구조를 정의한다.
• 변환 $\phi$ 가 덧셈과 곱셈을 모두 유지하는 링 동형사상임을 증명하며, $\phi$ 는 $M_n$ 에서의 모어-펜로즈 가역행렬을 $S_{n+1}$ 에서의 표준 곱셈에 대한 모어-펜로즈 가역행렬로 매핑한다.
• 영 행 또는 열을 가진 행렬로의 동형사상 확장을 위해, 특정 위치 $\mathbf{a}$ 에서 영 열을 삽입하는 수정된 $J_{m,\mathbf{a}}$ 행렬을 도입하며, 이는 동형사상과 $K_m = J_{m,\mathbf{a}} J_{m,\mathbf{a}}^*$ 를 유지한다.
• 행렬 $\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$ 의 명시적 가역행렬 공식을 유도한다: $\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$ 이며, 이는 $X$ 가 가역행렬일 경우에 성립한다.
• 행렬 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 의 범위를, 열의 합이 0이고 인덱스 $\mathbf{a}$ 로 지정된 위치에 0이 있는 행렬 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 의 집합으로 특성 기술하며, $\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$ 이 됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행과 열의 합이 0인 $n\times n$ 행렬의 집합은 더 낮은 차원의 행렬의 링 구조와 동형일 수 있는가?
• RQ2 이러한 싱귤러 행렬의 모어-펜로즈 가역행렬은 동형으로 연결된 더 낮은 차원의 링에서의 역행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 행과 열의 합이 0인 행렬에 대해 $S_{n+1}$ 에서의 모어-펜로즈 가역행렬의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 이러한 행렬에 대해 투영 연산자 $X^+X$ 의 범위는 어떻게 특성 기술할 수 있는가?
• RQ5 비제곱 행렬에 대해, 영 행 또는 열을 가진 행렬로 동형사상과 가역행렬 대응 관계를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 행과 열의 합이 0인 $n\times n$ 행렬의 집합인 $S_{n+1}$ 은 $K_n = J_n J_n^*$ 를 사용한 왜곡된 곱 $X \circ Y = X K_n Y$ 를 통해 전체 행렬 대수 $M_n$ 과 링 동형이다.
• 변환 $\phi(X) = J_n^* X J_n$ 은 $M_n$ 링에서의 모어-펜로즈 가역행렬을 표준 곱셈에 대한 $S_{n+1}$ 에서의 모어-펜로즈 가역행렬로 매핑한다.
• 랭크가 $m$ 인 행렬 $\tilde{X} = J_{m,\mathbf{b}}^* X J_{m,\mathbf{a}}$ 에 대해, $X$ 가 가역행렬일 경우 모어-펜로즈 가역행렬이 명시적으로 $\tilde{X}^+ = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} X^{-1} K_m^{-1} J_{m,\mathbf{b}}$ 로 주어진다.
• 투영 연산자 $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 는 열의 합이 0이면서 인덱스 $\mathbf{a}$ 로 지정된 위치에 0이 있는 행렬 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 의 부분공간에서 항등원으로 작용하며, $\tilde{X}^+ \tilde{X} \tilde{M} = \tilde{M}$ 이다.
• $\tilde{X}^+ \tilde{X}$ 의 범위는 행렬 $\tilde{M} = J_{m,\mathbf{a}}^* M$ 의 $m$ 차원 부분공간이며, $\tilde{X}^+ \tilde{X} = J_{m,\mathbf{a}}^* K_m^{-1} J_{m,\mathbf{a}} = J_{m,\mathbf{a}}^* \left(I_m - \frac{1}{m+1} \mathbf{1}_{m\times m}\right) J_{m,\mathbf{a}}$ 로 주어진다.
• 다른 영 삽입 패턴 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 를 가진 $J_{m,\mathbf{a}}$ 와 $J_{m,\mathbf{b}}$ 행렬을 允허함으로써 동형사상과 가역행렬 대응 관계가 비제곱 행렬로도 확장되며, 이는 구조와 가역성 조건을 유지한다.