[논문 리뷰] A robust conservative mixed finite element method for compressible flow on pipe networks

Herbert Egger|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 16.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유량의 파이프 네트워크에서 유체를 시뮬레이션하기 위해 질량과 에너지의 전역 보존을 보장하는 변분형식을 사용하는 강건하고 보존적인 혼합 유한요소 방법을 제시한다. 이 방법은 공간에서 적합한 갈레르킨 이산화를 사용하고, 질량을 정확히 보존하며 약간의 에너지 소산을 유도하는 암시적 시간 스텝 방법을 적용하여 다양한 네트워크 구조와 파rameter에서 잘 정의되고 안정적인 해를 보장한다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of compressible flow in a pipe network. Appropriate coupling conditions are formulated that allow us to derive a variational characterization of solutions and to prove global balance laws for the conservation of mass and energy on the whole network. This variational principle, which is the basis of our further investigations, is amenable to a conforming Galerkin approximation by mixed finite elements. The resulting semi-discrete problems are well-posed and automatically inherit the global conservation laws for mass and energy from the continuous level. We also consider the subsequent discretization in time by a problem adapted implicit time stepping scheme which leads to conservation of mass and a slight dissipation of energy of the full discretization. The well-posedness of the fully discrete scheme is established and a fixed-point iteration is proposed for the solution of the nonlinear systems arising in every single time step. Some computational results are presented for illustration of our theoretical findings and for demonstration of the robustness and accuracy of the new method.

연구 동기 및 목표

• 압축성 유량의 파이프 네트워크에서 질량과 에너지를 전역적으로 보존하는 수치적 방법을 개발하는 것.
• 물리적 일관성과 질량 및 에너지 보존을 보장하는 접합부에서의 결합 조건을 유도하는 것.
• 보존 법칙을 자연스럽게 포함하는 변분 원리를 제시하고, 이를 통해 적합한 갈레르킨 이산화를 가능하게 하는 것.
• 반연속 및 완전 이산화 스킴에 대한 잘 정의됨과 보존 성질을 확립하는 것.
• 리만 유형의 흐름 문제와 정 steady-state 수렴에 대한 수치 실험을 통해 강건성과 정확성을 입증하는 것.

제안 방법

• 압축성 유량의 지배 방정식에서 유도된 변분형식으로, 질량 및 운동량 균형과 압력 법칙 $ p = c\rho^\gamma $ 를 포함한다.
• 파이프 접합부에서 질량 유량과 정지 엔탈피의 보존을 보장하기 위해 결합 조건을 설정하며, 점성 효과를 포함한다.
• 공간 이산화를 위해 혼합 유한요소 방법을 적용하여 적합한 갈레르킨 근사와 반연속 수준에서 정확한 질량 보존을 보장한다.
• 질량을 정확히 보존하고 에너지의 통제된 수치적 소산을 유도하는 암시적 시간 스텝 방법을 사용한다.
• 각 시간 단계에서 발생하는 비선형 시스템은 고정점 반복을 통해 해결하여 강건성과 수렴성을 확보한다.
• 에너지 추정과 안정성 분석을 사용하여 완전 이산화 스킴의 잘 정의됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 유량의 파이프 네트워크에서 질량과 에너지의 전역 보존을 내재적으로 포함하는 변분형식을 유도할 수 있는가?
• RQ2 접합부에서의 결합 조건은 어떻게 설정해야 물리적 일관성과 질량 및 에너지 보존을 보장할 수 있는가?
• RQ3 제안된 변분형식에 대해 적용된 적합한 혼합 유한요소 방법이 이산 수준에서 질량 및 에너지 보존 성질을 유지하는가?
• RQ4 질량을 보존하고 오직 통제된 에너지 소산만을 유도하는 암시적 시간 이산화를 설계할 수 있는가?
• RQ5 완전 이산화 스킴은 모델 파rameter, 메쉬 정밀도, 초기 조건에 대해 얼마나 강건한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 이산 수준에서 질량을 정확히 보존하며, 이는 정상 상태 해를 올바르게 도출하는 데 필수적이다.
• 암시적 시간 이산화에 의해 약간의 에너지가 소산되며, 이는 물리적 점성 소산을 모방하고 안정성을 보장한다.
• 반연속 및 완전 이산화 스킴은 잘 정의되어 있으며, 메쉬 및 시간 스텝의 정밀화에 따라 수렴이 관찰된다.
• 수치 실험 결과는 다양한 초기 조건, 특히 불연속 밀도 프로파일을 포함한 경우에도 강건한 행동을 보이며, 수치적 감쇠로 인해 불연속성이 빠르게 평탄화됨을 보여준다.
• 작은 점성 파rameter와 복잡한 네트워크 구조 조건에서도 보존 성질과 안정성이 유지된다.
• 모든 시험 케이스에서 고정점 반복이 안정적으로 수렴하여 비선형 해석기의 강건성을 입증한다.