[논문 리뷰] A robust monolithic solver for phase-field fracture integrated with fracture energy based arc-length method and under-relaxation

Ritukesh Bharali, Somdatta Goswami외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 20.

Numerical methods in engineering참고 문헌 60인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 비선형 에너지 함수와 열악한 조건의 강성 행렬로 인한 수렴 문제를 해결하기 위해, 균열 에너지 기반의 아크-길이 방법과 적응형 과잉완화를 조합한 강력한 단일체 해법을 제안한다. 이 방법은 균열 경로에 대한 사전 지식 없이도 균열 전파의 국소적 해상도를 효율적으로 가능하게 하는 이소지오메트릭 해석(IsoGeometric Analysis, IGA)과 PHT-spline 기반의 적응형 메esh 정밀화를 통합한다.

ABSTRACT

The phase-field fracture free-energy functional is non-convex with respect to the displacement and the phase field. This results in a poor performance of the conventional monolithic solvers like the Newton-Raphson method. In order to circumvent this issue, researchers opt for the alternate minimization (staggered) solvers. Staggered solvers are robust for the phase-field based fracture simulations as the displacement and the phase-field sub-problems are convex in nature. Nevertheless, the staggered solver requires very large number of iterations (of the order of thousands) to converge. In this work, a robust monolithic solver is presented for the phase-field fracture problem. The solver adopts a fracture energy-based arc-length method and an adaptive under-relaxation scheme. The arc-length method enables the simulation to overcome critical points (snap-back, snap-through instabilities) during the loading of a specimen. The use of an under-relaxation scheme stabilizes the solver by preventing the divergence due to an ill-behaving stiffness matrix. The efficiency of the proposed solver is further amplified with an adaptive mesh refinement scheme based on PHT-splines within the framework of isogeometric analysis. The numerical examples presented in the manuscript demonstrates the efficacy of the solver. All the codes and data-sets accompanying this work will be made available on GitHub (https://github.com/rbharali/IGAFrac).

연구 동기 및 목표

• 비볼록 에너지 함수와 열악한 조건의 강성 행렬로 인한 수렴 문제를 해결하는 강력한 단일체 해법을 개발한다.
• 균열 전파 중 후피크 스냅백 거동를 정확히 포착하여, 일반적으로 스테이지드 해법에서 빠지는 현상을 해결한다.
• 이소지오메트릭 해석(IGA) 프레임워크 내에서 PHT-spline 기반의 적응형 메쉬 정밀화를 통합하여 고기울기 영역의 효율적이고 국소적인 해상도를 확보한다.
• 균열 에너지 기반 아크-길이 제약과 적응형 과잉완화를 통해 변분 일致성과 안정성을 확보한다.
• 사전 정의된 균열 경로 없이 자연스럽게 균열 형성과 전파를 가능하게 하여, 취약한 균열 시뮬레이션의 현실성 향상.

제안 방법

• 이완형 이완형 변수와 변위 변수를 동시에 해결하는 단일체 해법을 적용한다.
• 로딩 경로 제어 및 스냅백 사건 동안 큰 변위 스텝을 허용하기 위해 균열 에너지 기반 아크-길이 방법을 도입한다.
• 불안정한 자코비안 행동으로 인한 진동을 완화하기 위해 수렴 안정성을 향상시키기 위해 적응형 과잉완화를 적용한다.
• 균열 진전에 따라 적응하는 효율적이고 국소적인 h-정밀화를 위해 이소지오메트릭 해석(IGA) 프레임워크 내에서 PHT-spline을 사용한다.
• 변분 부등식을 통한 균열의 불가역성 제약 조건을 강제하기 위해 페널티 방법을 구현한다.
• 아크-길이 제약 기반의 동적 시간 스텝 전략을 채택하여 적응형 에너지 소산과 안정성 향상을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아크-길이 제어와 과잉완화를 갖춘 단일체 단계장 균열 해법이 후피크 로딩에서 스냅백 거동을 효과적으로 포착할 수 있는가?
• RQ2 적응형 과잉완화와 균열 에너지 기반 아크-길이의 조합이 기존의 단일체 또는 스테이지드 해법에 비해 수렴성과 강력성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 PHT-spline 기반의 적응형 메쉬 정밀화가 단계장 균열 시뮬레이션에서 계산 효율성과 정확도를 얼마나 향상시키는가?
• RQ4 제안된 해법이 사전 정의된 균열 경로나 메쉬 재정의 없이 자연스럽게 균열 형성과 전파를 포착할 수 있는가?
• RQ5 파손 모델 선택(이차함수 대 비선형함수)이 후피크 영역에서의 하중-변위 반응과 균열 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 단일체 해법은 단일단면 notched 텐션(SENT) 및 시어(SEN) 시편에서 스냅백 거동을 성공적으로 포착하였으며, 이는 별도 최소화 또는 쿼드라틱-뉴턴 라프슨 해법으로는 달성할 수 없다.
• SENT 시나리오에서, 해법은 다른 방법들과 유사한 피크 하중 및 전피크 반응을 달성하지만, 독자적으로 후피크 불연속성과 음의 기울기 영역을 포착한다.
• s = 0.1인 입방형 파손 함수는 선형 전피크 단계를 나타내지만, 이차함수 및 s=1.0인 입방형 함수는 이러한 단계를 보이지 않아 파손 모델 선택에 민감함을 시사한다.
• PHT-spline 기반의 적응형 메쉬 정밀화는 균일하게 정밀화된 메쉬에서의 하중-변위 곡선과 동일한 결과를 도출하여 정확성과 효율성을 입증한다.
• 균열 경로는 초기화 없이 자연스럽게 형성되며, 랭킨 기준을 사용함에 따라 이전 연구와 다른 최종 균열 구조를 보인다.
• 모든 시험 케이스에서 해법은 강력한 수렴성을 보였으며, 동적 시간 스텝 전략과 과잉완화로 인해 극도로 비선형적인 영역에서도 발산을 방지하였다.