[논문 리뷰] A robust sub-linear time R-FFAST algorithm for computing a sparse DFT

Sameer Pawar, Kannan Ramchandran|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 흰색 가우시안 잡음에 의해 오염된 신호의 희박한 이산 푸리에 변환(DFT)을 계산하기 위한 강건한 비선형 시간 알고리즘인 R-FFAST를 제시한다. 고정된 결정론적 샘플링 구조와 무작위로 이동된 딜레이 체인을 사용함으로써, R-FFAST는 $O(k\log^3 n)$개의 샘플과 $O(k\log^4 n)$의 계산을 달성하여, 잡음이 존재하는 상황에서도 안정적인 $k$-희박 DFT 복원이 가능하며, 강력한 이론적 보장과 비균일한 지지도를 가진 신호, 예를 들어 MRI 영상에서의 경험적 성공을 보여준다.

ABSTRACT

The Fast Fourier Transform (FFT) is the most efficiently known way to compute the Discrete Fourier Transform (DFT) of an arbitrary n-length signal, and has a computational complexity of O(n log n). If the DFT X of the signal x has only k non-zero coefficients (where k < n), can we do better? In [1], we addressed this question and presented a novel FFAST (Fast Fourier Aliasing-based Sparse Transform) algorithm that cleverly induces sparse graph alias codes in the DFT domain, via a Chinese-Remainder-Theorem (CRT)-guided sub-sampling operation of the time-domain samples. The resulting sparse graph alias codes are then exploited to devise a fast and iterative onion-peeling style decoder that computes an n length DFT of a signal using only O(k) time-domain samples and O(klog k) computations. The FFAST algorithm is applicable whenever k is sub-linear in n (i.e. k = o(n)), but is obviously most attractive when k is much smaller than n. In this paper, we adapt the FFAST framework of [1] to the case where the time-domain samples are corrupted by a white Gaussian noise. In particular, we show that the extended noise robust algorithm R-FFAST computes an n-length k-sparse DFT X using O(klog ^3 n) noise-corrupted time-domain samples, in O(klog^4n) computations, i.e., sub-linear time complexity. While our theoretical results are for signals with a uniformly random support of the non-zero DFT coefficients and additive white Gaussian noise, we provide simulation results which demonstrates that the R-FFAST algorithm performs well even for signals like MR images, that have an approximately sparse Fourier spectrum with a non-uniform support for the dominant DFT coefficients.

연구 동기 및 목표

• 시간 도메인 샘플이 흰색 가우시안 잡음에 의해 오염된 상태에서 $k$-희박 신호의 DFT를 계산하기 위한 강건하고 비선형 시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 무작위 측정 시스템 대신 고정된 샘플링 구조를 사용하여 실용적인 하드웨어 제약 조건 하에서도 계산 효율성과 샘플링 복잡도를 유지하는 것.
• 노이즈 없는 FFAST 프레임워크를 실세계의 잡음과 비균일한 지지도를 가진 희박 신호, 예를 들어 MRI에서의 신호를 다룰 수 있도록 확장하는 것.
• 제한된 이sovometry 성질(RIP)과 상호 비일관성에 기반하여, 노이즈 하에서 $k$-희박 DFT의 안정적 복원을 이론적으로 보장하는 것.
• 이론적 가정인 균일한 랜덤 지지도를 갖는 데도 불구하고, 실용적 신호, 예를 들어 MRI 영상에서의 알고리즘의 타당성과 강건성을 입증하는 것.

제안 방법

• R-FFAST 알고리즘은 각 단계당 다수의 딜레이 체인을 사용하는 고정된 결정론적 샘플링 구조를 사용하며, 각 딜레이 체인에 대해 별도의 무작위 순환 이동을 적용한 후에 하향 샘플링을 수행한다.
• 딜레이 체인 내의 무작위 이동은 효과적인 측정 행렬이 양호한 상호 비일관성과 제한된 이sovometry 성질(RIP)을 가지도록 보장하여, 노이즈 하에서도 안정적인 복원이 가능하도록 한다.
• 프론트엔드는 중국의 나머지 정리(CRT)에 기반한 다단계 하향 샘플링 과정을 통해 하향 샘플된 DFT 출력을 계산한다.
• 백엔드 피어싱 디코더는 하향 샘플된 출력에서의 앨리어싱 패턴을 이용해 반복적으로 비영인 DFT 계수를 복원한다.
• 알고리즘은 각 DFT 버킷을 일정 수의 횟수만 처리하므로, 노이즈가 존재하더라도 전체적인 계산 오버헤드가 낮다.
• 각 주파수 버킷 클러스터에 대해 싱글턴 추정기는 클러스터당 $O(\log^{1/3}n)$개의 샘플을 사용하여 높은 확률로 주파수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FFAST 프레임워크는 비선형 시간과 샘플링 복잡도를 유지하면서도 노이즈 있는 시간 도메인 샘플을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 희박한 DFT 계산에서 추가적인 흰색 가우시안 잡음에 대해 강건성을 확보하기 위해 고정된 샘플링 구조는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 노이즈 하에서 $k$-희박 DFT의 안정적 복원을 달성하기 위해 필요한 샘플 수와 계산 복잡도는 얼마인가? (고도의 확률로)
• RQ4 비균일하게 분포된 비영인 DFT 계수를 가진 신호, 예를 들어 MRI 영상에서 알고리즘이 성능을 유지하는가?
• RQ5 고정된 샘플링 제약 조건 하에서 딜레이 체인 내의 무작위 이동이 측정 행렬의 제한된 이sovometry 성질(RIP)과 상호 비일관성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• R-FFAST는 $O(k\log^3 n)$개의 노이즈 있는 시간 도메인 샘플과 $O(k\log^4 n)$개의 복소수 산술 연산을 사용하여 $n$-길이의 $k$-희박 DFT를 계산하며, 비선형 시간 복잡도를 달성한다.
• 알고리즘은 비영인 DFT 계수의 지지도가 균일하게 랜덤인 신호에 대해 높은 확률($1 - O(1/n^2)$)로 안정적인 복원을 보장한다.
• 경험적 결과는 R-FFAST가 전체 푸리에 샘플의 60.18%만을 사용하여 $504 \times 504$ 크기의 뇌 MRI 영상을 성공적으로 재구성했음을 보여주며, 비균일한 지지도 스펙트럼에 대한 강건성을 입증한다.
• 이론적 분석은 딜레이 체인 내의 무작위 이동이 측정 행렬에 양호한 상호 비일관성과 RIP를 유도함으로써 안정적인 복원이 가능함을 확인한다.
• 백엔드 피어싱 디코더는 각 버킷을 일정 수의 횟수만 처리하므로, 전체 $O(k\log^4 n)$ 계산 비용에 기여한다.
• 무작위 측정 시스템을 사용하는 R-FFAST의 변종은 $O(k\log^{4/3}n)$개의 샘플과 $O(k\log^{7/3}n)$개의 연산을 요구하지만, 본 연구는 하드웨어 실현 가능성에 초점을 맞춰 고정 구조 구현에 집중한다.