[논문 리뷰] A Robust Time-Delay Approach to Extremum Seeking via ISS Analysis of the Averaged System

Xuefei Yang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 03.

Extremum Seeking Control Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속 및 이산 영역에서 N차원 정적 이차 사상에 대한 극값 탐색을 위한 강건한 시간지연 접근법을 제안한다. 시스템을 중립형 시간지연 모델로 변환함으로써, 리아푸노프-크라소프스키 방법 대신 상수의 변형 공식을 사용하여 실용적 안정성에 대한 명시적이고 덜 보수적인 조건을 수립한다. 이는 이전 연구에 비해 더 넓은 헤시안 불확실성 범위와 더 유연한 딜레이 주기 제약 조건을 가능하게 한다.

ABSTRACT

For N-dimensional (ND) static quadratic map, we present a time-delay approach to gradient-based extremum seeking (ES) both, in the continuous and, for the first time, the discrete domains. As in the recently introduced (for 2D maps in the continuous domain), we transform the system to the time-delay one (neutral type system in the form of Hale in the continuous case). This system is O($\varepsilon$)-perturbation of the averaged linear ODE system, where $\varepsilon$ is a period of averaging. We further explicitly present the neutral system as the linear ODE, where O($\varepsilon$)-terms are considered as disturbances with distributed delays of the length of the small parameter $\varepsilon$. Regional input-to-state stability (ISS) analysis is provided by employing a variation of constants formula that greatly simplifies the previously used analysis via Lyapunov-Krasovskii (L-K) method, simplifies the conditions and improves the results. Examples from the literature illustrate the efficiency of the new approach, allowing essentially large uncertainty of the Hessian matrix with bounds on $\varepsilon$ that are not too small.

연구 동기 및 목표

• 임의의 N ≥ 1인 다변수 시스템에 대한 극값 탐색(ES)에 대해 강건하고 정량적인 안정성 분석 프레임워크를 개발하는 것.
• 헤시안 불확실성 하에서 결과가 보수적이며 조건이 복잡한 리아푸노프-크라소프스키(L-K) 방법의 한계를 극복하는 것.
• 기존 1–2차원 시스템에 국한된 시간지연 접근법을 연속 및 이산 영역에서 일반적인 N차원 시스템으로 확장하는 것.
• 실용적 안정성을 보장하기 위한 명시적이고 단순한 부등식 기반 조건을 제공하는 것. 이를 통해 더 넓은 허용 가능한 딜레이 주기 및 헤시안 불확실성 범위를 허용할 수 있다.

제안 방법

• 기울기 기반 극값 탐색 역학을 할레의 형태에 유사한 중립형 시간지연 시스템으로 변환한다. 이는 연속 경우에 해당한다.
• 시스템을 평균화 주기 ε의 분포 지연을 가진 O(ε)-항으로 편향된 선형 상미분방정식(O(ε)-perturbed linear ODE)로 재구성한다.
• 입력-상태 안정성(ISS) 분석을 위해 상수의 변형 공식을 적용하여 평균 시스템의 ISS를 분석함으로써 복잡한 L-K 함수 방법을 대체한다.
• 딜레이 주기 ε를 제한하고 실용적 안정성을 보장하기 위한 명시적이고 단순한 부등식을 유도함으로써 L-K 방법의 보수성을 피한다.
• ISS 프레임워크를 활용해 헤시안 불확실성과 초기 조건 오차로부터 발생하는 외란에 대한 시스템의 강건성을 정량화한다.
• 기존 문헌의 예제를 통해 접근법을 검증하였으며, 이는 큰 헤시안 불확실성 하에서도 안정성 여유가 향상됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 및 이산 영역에서 일반적인 N차원 극값 탐색 시스템에 대해 시간지연 접근법을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 극값 탐색 시스템의 안정성 분석에서 리아푸노프-크라소프스키 방법의 복잡성과 보수성을 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 큰 헤시안 불확실성 하에서도 실용적 안정성을 보장할 수 있는 명시적이고 단순한 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존의 L-K 기반 방법에 비해 더 큰 딜레이 주기 ε를 허용하면서도 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 상수의 변형 공식은 극값 탐색에서 안정성 한계의 해석 가능성과 날카운성(tightness)을 얼마나 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 분포 지연에 의해 O(ε)-편향되는 시간지연 모델을 사용하여 N차원 극값 탐색 시스템의 실용적 안정성을 달성한다.
• 명시적 안정성 조건이 단순한 부등식으로 도출되어 복잡한 L-K 함수 구축의 필요성을 피하고 보수성을 감소시킨다.
• 이전의 L-K 기반 접근법에 비해 헤시안 행렬 불확실성에 대한 허용 가능한 범위가 상당히 넓어진다.
• 딜레이 주기 ε에 대한 상한이 더 유연하여 더 빠른 수렴과 실용적 구현에서의 향상된 강건성을 가능하게 한다.
• 상수의 변형 공식은 안정성 분석을 단순화하고 이전 방법들보다 더 날카운 안정성 여유를 이끌어낸다.
• 수치 예제를 통해 ε가 매우 작지 않더라도 안정성이 유지됨을 확인하였으며, 이는 제안된 방법의 실용적 타당성을 입증한다.