[논문 리뷰] A `Rosetta stone' for the population dynamics of spiking neuron networks

Gianni Valerio Vinci, Maurizio Mattia|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 08.

Neural dynamics and brain function인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 자극에 반응하는 뉴런 집단의 동역학을 기술하는 Fokker-Planck 방정식의 스펙트럼 전개에서 핵심 계수들의 해석적 표현을 유도하며, 이를 위해 간격 간의 간격 밀도의 라플라스 변환과 연결한다. 이는 유도된 전류-레이트 이득, 고유값, 경계에서의 고유함수, 그리고 유도적 적분 표현 없이도 유전적 적인 적합성에 기반한 레이크리스 인테그레이트-앤드-파이어 네트워크에서의 결합 항을 정확하게 계산할 수 있게 하여, 적분 표현 없이 비평형 동역학을 완전히 분석할 수 있는 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Populations of spiking neuron models have densities of their microscopic variables (e.g., single-cell membrane potentials) whose evolution fully capture the collective dynamics of biological networks,even outside equilibrium. Despite its general applicability, the Fokker-Planck equation governing such evolution is mainly studied within the borders of the linear response theory, although alternative spectral expansion approaches offer some advantages in the study of the out-of-equilibrium dynamics. This is mainly due to the difficulty in computing the state-dependent coefficients of the expanded system of differential equations. Here, we address this issue by deriving analytic expressions for such coefficients by pairing perturbative solutions of the Fokker-Planck approach with their counterparts from the spectral expansion. A tight relationship emerges between several of these coefficients and the Laplace transform of the inter-spike interval density (i.e., the distribution of first-passage times). ‘Coefficients’ like the current-to-rate gain function, the eigenvalues of the Fokker-Planck operator and its eigenfunctions at the boundaries are derived without resorting to integral expressions. For the leaky integrate-and-fire neurons, the coupling terms between stationary and nonstationary modes are also worked out paving the way to accurately characterize the critical points and the relaxation timescales in networks of interacting populations.

연구 동기 및 목표

• 스피킹 뉴런 집단의 Fokker-Planck 방정식 스펙트럼 전개에서 상태에 의존하는 계수를 계산하는 데서 비롯된 도전 과제를 해결하기 위해.
• 스펙트럼 계수와 첫 번째 통과 시간(간격 간 간격) 밀도의 라플라스 변환 사이의 직접적인 해석적 연결 고리를 수립하기 위해.
• 적분 표현에 의존하지 않고 전류-레이트 이득, 고유값, 경계 고유함수에 대한 정확한 표현을 도출하기 위해.
• 레이크리스 인테그레이트-앤드-파이어 네트워크에서 정적 및 비정적 모드 간의 결합 항을 계산하여 회복 시간 상수와 임계점의 정확한 특성화를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• Fokker-Planck 방정식의 펌프팅 해법과 스펙트럼 전개 해법을 결합하여 계수에 대한 해석적 표현을 도출하기 위해.
• 전류-레이트 이득 및 고유값과 같은 핵심 계수들을 간격 간 간격 밀도의 라플라스 변환에 직접적으로 표현하기 위해.
• 시냅스 전압 밀도 p(v,t)의 시간 진화를 기술하기 위해 Fokker-Planck 연산자 L = −∂v(F + µ) + ½σ²∂²v 를 사용하기 위해.
• 유량 기반의 발화율 ν(t) = −½σ²∂vp|v=vthr 를 도출하기 위해 연속 방정식 ∂tp = −∂vSp 를 적용하며, vthr 는 흡수 경계로 간주된다.
• 비정적 조건 하에서 Fokker-Planck 연산자의 고유값 문제를 해결함으로써 경계 고유함수와 모드 간의 결합 항을 유도하기 위해.
• 확산 근사와 평균장 근사를 활용하여 시냅스 입력을 시간에 따라 변하는 평균 µ(t) 와 분산 σ²(t) 를 갖는 가우시안 화이트 노이즈로 모델링하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스피킹 뉴런 집단의 Fokker-Planck 방정식 스펙트럼 전개에서 상태에 의존하는 계수들은 어떻게 해석적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 계수와 간격 간 간격 밀도의 라플라스 변환 사이의 정확한 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ3 적분 표현 없이도 전류-레이트 이득 함수, 고유값, 경계 고유함수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 레이크리스 인테그레이트-앤드-파이어 네트워크에서 정적 및 비정적 모드 간의 결합 항은 무엇이며, 이는 회복 동역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 해석적 계수들을 사용하여 상호작용하는 스피킹 뉴런 집단의 임계점과 회복 시간 상수를 어떻게 정확하게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 전류-레이트 이득 함수는 간격 간 간격 밀도의 라플라스 변환에 의해 해석적으로 표현되어 적분 평가가 필요 없어진다.
• Fokker-Planck 연산자의 고유값과 그에 해당하는 임계 경계에서의 고유함수는 첫 번째 통과 시간 밀도의 라플라스 변환을 사용하여 닫힌 형태로 도출된다.
• 레이크리스 인테그레이트-앤드-파이어 네트워크에서 정적 및 비정적 모드 간의 결합 항이 명시적으로 계산되어 일시적인 동역학의 정확한 모델링이 가능해진다.
• 모든 핵심 스펙트럼 계수에 대해 수치적 적분이나 근사 기법에 의존하지 않는 정확한 해석적 표현이 제공된다.
• 이 프레임워크는 스피킹 뉴런 집단의 비평형 동역학, 특히 회복 시간 상수와 임계점의 완전한 특성화를 가능하게 한다.
• 유도된 관계는 스펙트럼 이론, 첫 번째 통과 시간 통계, 그리고 스피킹 네트워크의 인구 수준의 발화율 동역학을 연결하는 '로제타 돌'을 형성한다.