[논문 리뷰] A #SAT Algorithm for Small Constant-Depth Circuits with PTF Gates

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 27.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 50인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 기본적인 계산 기하학 문제들—예를 들어 ℓ2-가장먼 쌍, 호프코프트 문제, 이색적 최근접 쌍—에 대해 略로 빠른 알고리즘을 개선하면, THR◦THR 회로에 대해 초다항식 크기의 하한을 이끌어내며, 회로 복잡도 이론에서 오랫동안 열려있던 주요 문제를 해결한다. 새로운 임계값 회로에 대한 구조 렘마를 활용하고 윌리엄스의 알고리즘 프레임워크를 적용하여, 알고리즘 실행 시간의 미세한 개선(로그 인자 제거)이 NEXP 및 ENP에 대한 돌연한 회로 하한을 이끌어내는 데 연결됨을 보였다.

ABSTRACT

Proving super-polynomial size lower bounds for $ extsf{TC}^0$, the class of constant-depth, polynomial-size circuits of Majority gates, is a notorious open problem in complexity theory. A major frontier is to prove that $ extsf{NEXP}$ does not have poly-size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuit (depth-two circuits with linear threshold gates). In recent years, R.~Williams proposed a program to prove circuit lower bounds via improved algorithms. In this paper, following Williams' framework, we show that the above frontier question can be resolved by devising slightly faster algorithms for several fundamental problems: 1. Shaving Logs for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$. An $n^2 extrm{poly}(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$ in $\mathbb{R}^d$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. The same holds for Hopcroft's problem, $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ and Integer $ extsf{Max-IP}$. 2. Shaving Logs for Approximate $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$. An $n^2 extrm(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $(1+1/\log^{ω(1)} n)$-approximation to $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ or $ extsf{Bichrom.-$\ell_1$-Closest-Pair}$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{SYM}\circ extsf{THR}$ circuits. 3. Shaving Logs for Modest Dimension Boolean $ extsf{Max-IP}$. An $n^2 / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for Bichromatic Maximum Inner Product with vector dimension $d = n^ε$ for any small constant $ε$ would imply $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. Note there is an $n^2 extrm{polylog}(n)$ time algorithm via fast rectangle matrix multiplication. Our results build on two structure lemmas for threshold circuits.

연구 동기 및 목표

• NEXP가 다항식 크기의 THR◦THR 회로를 갖는가에 대한 오랜 동안 열려있던 문제를 해결하기 위해.
• 윌리엄스의 알고리즘 프레임워크를 확장하여 기본 문제에 대한 개선된 알고리즘을 통해 회로 하한을 확립하기 위해.
• 기하 문제 및 내적 문제에 대한 기존 알고리즘에서 로그 인자를 제거하는 것이 강력한 회로 하한을 이끌어내는 지 보여주기 위해.
• MAX-SAT 및 k-SAT 알고리즘의 개선을 SYM◦AND 및 TC 회로에 대한 하한과 연결하기 위해.
• 알고리즘 감소를 가능하게 하기 위한 새로운 임계값 회로의 구조적 특성화를 도출하기 위해.

제안 방법

• 두 가지 핵심 구조 렘마를 도입: 다항식 크기의 THR◦THR 회로는 다항수의 다항식 크기의 THR◦MAJ 회로들의 OR로 표현될 수 있으며, 또는 초지수적으로 많은 다항식 크기의 MAJ◦MAJ 회로들의 OR로 표현될 수 있다.
• 비결정성 기법을 사용하여 확률적 감소를 결정성으로 변환하여 윌리엄스의 알고리즘과 하한 간의 연결 고리를 적용한다.
• 회로 만족 가능성 문제를 회로 크기와 깊이를 유지하는 감소를 통해 기하 문제(예: 가장 먼 쌍, 가장 가까운 쌍)로 환원한다.
• 기존 알고리즘 개선(예: 빠른 직사각형 행렬 곱셈)을 적용하여 차원 d = n^ε에서의 이색적 최대 내적에 대한 시간 복잡도를 유도한다.
• SYM◦AND 회로에서 OR◦MAJ◦OR 회로로의 다대일 감소를 사용하여 MAX-SAT 알고리즘과 하한을 연결한다.
• TC-SAT에서 k-CNF 공식으로의 감소를 적용하여 k-SAT 알고리즘과 TC 회로의 깊이가 로그인 경우의 하한을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ2-가장먼 쌍 또는 관련 문제에 대해 알려진 알고리즘에서 로그 인자를 제거하는 것이 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)임을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ2 다항로그 차원 d에서 이색적 최근접 쌍에 대해 (1+1/log^ω(1) n)-근사 알고리즘이 존재한다면, 이는 SYM◦THR 회로 하한을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ3 d = n^ε 차원에서 bichromatic maximum inner product에 대해 n²/log^ω(1) n 시간 알고리즘이 존재한다면, 이는 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)임을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ4 MAX-SAT에 대해 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 시간 알고리즘이 존재한다면, 이는 SYM◦AND 회로에 대해 초준다항식 하한을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ5 k-SAT에 대해 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 시간 알고리즘이 존재한다면, 이는 TC 회로의 로그 로그 n 깊이 장벽을 돌파할 수 있는가?

주요 결과

• 다항로그 차원 d에서 ℓ2-가장먼 쌍에 대해 n² poly(d)/log^ω(1) n 시간의 결정성 알고리즘이 존재하면, NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)임을 이끌어낸다.
• 동일한 실행 시간 개선이 호프코프트 문제, 이색적 ℓ2-가장가까운 쌍, 또는 정수 최대 내적 문제에 적용되면, NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)임을 이끌어낸다.
• 다항로그 차원 d에서 이색적 ℓ2-또는 ℓ1-가장가까운 쌍에 대해 (1+1/log^ω(1) n)-근사 알고리즘이 존재하면, NEXP ∉ P/poly(SYM◦THR)임을 이끌어낸다.
• d = n^ε (모든 ε > 0) 차원에서 이색적 최대 내적에 대해 n²/log^ω(1) n 시간 알고리즘이 존재하면, NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)임을 이끌어낸다.
• MAX-SAT에 대해 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 시간 알고리즘이 존재하면, NEXP ∉ 준다항식 크기(SYM◦AND) 회로임을 이끌어낸다.
• k-SAT에 대해 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 시간 알고리즘이 존재하면, ENP ∉ 선형 크기 O(log log n)-깊이 TC 회로임을 이끌어낸다.