[논문 리뷰] A Scaling Limit for Limit Order Books Driven by Hawkes Processes

Ulrich Horst, Wei Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가격과 거래량에 따라 영향을 받는 하크스 난수 측도에 의해 구동되는 미니멀 오더북(LOB) 모델에 대한 스케일링 극한을 수립한다. 단일 시간 척도 하에서, 극한 동역학은 결합된 SDE-ODE 시스템으로 수렴한다: 최고 매수/매도 가격은 확산 과정을 따르며, 거래량 밀도는 힐버트 공간 내에서 상미분방정식을 통해 변화하고, 강도 과정은 볼테라-프레드홀름 적분방정식을 만족한다. 이는 다중 시간 척도가 필요 없이 비퇴화된 완전히 결합된 거시적 모델을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we derive a scaling limit for an infinite dimensional limit order book model driven by Hawkes random measures. The dynamics of the incoming order flow is allowed to depend on the current market price as well as on a volume indicator. With our choice of scaling the dynamics converges to a coupled SDE-ODE system where limiting best bid and ask price processes follows a diffusion dynamics, the limiting volume density functions follows an ODE in a Hilbert space and the limiting order arrival and cancellation intensities follow a Volterra-Fredholm integral equation.

연구 동기 및 목표

• 하크스 난수 측도에 의해 구동되는 무한차원의 미니멀 오더북에 대한 스케일링 극한을 개발하여 주문 유입의 집합성과 상호의존성을 포착한다.
• 이전의 유체 극한 모델에서 사용된 다중 시간 척도(예: 빠른 취소 vs. 느린 시장 주문)의 필요성을 제거한다.
• 스프레드가 엄격하게 양수인 비퇴화된 거시적 극한을 도출하여 의미 있는 가격 및 거래량 동역학을 보장한다.
• 극한 동역학을 완전히 결합된 확률미분방정식, 힐버트 공간 내 상미분방정식, 볼테라-프레드홀름 적분방정식의 조합으로 특성화한다.
• 표준 가정 하에서 마틴게일 문제 기법과 코herence 증명을 사용하여 극한 시스템의 유일성과 수렴성을 확립한다.

제안 방법

• 모델은 주문 도착 및 취소 동역학을 기술하기 위해 하크스 난수 측도를 사용하며, 이는 가격 및 거래량에 의존하는 강도를 허용한다.
• 단일 시간 척도 스케일링이 적용되며, 틱 크기와 주문 크기가 0으로 수렴하면서 도착률은 증가하여 유한한 주문 통계를 유지한다.
• 모멘트 유계와 기능적 극한 정리들을 사용하여 스토카로호프 공간 내에서 가격-거래량 과정의 수열의 코herence를 증명한다.
• 모든 집적점이 경로에 의존하는 생성자와 관련된 마틴게일 문제를 만족함을 보여, 약한 수렴성을 확립한다.
• 극한 시스템은 최고 매수/매도 가격에 대한 SDE, 힐버트 공간 내 거래량 밀도 함수에 대한 ODE, 그리고 강도에 대한 볼테라-프레드홀름 적분방정식을 포함한다.
• 추가 조건(예: 스프레드의 엄격한 양수성) 하에서 해의 유일성을 증명하여 극한의 비퇴화성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하크스 과정에 의해 구동되는 완전한 미니멀 오더북에 대해 다중 시간 척도에 의존하지 않고 스케일링 극한을 도출할 수 있는가?
• RQ2 주문 유입이 하크스 난수 측도를 통해 집합성과 상호의존성을 보일 때, 극한 동역학의 형태는 어떠한가?
• RQ3 극한 시스템은 여전히 비퇴화되어 있는가, 특히 스프레드가 엄격하게 양수인가?
• RQ4 극한 상태에서 가격, 거래량, 강도 과정은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 극한 동역학은 마틴게일 문제의 해로 특성화될 수 있는가, 이를 통해 수렴성과 유일성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 극한 동역학은 완전히 결합된 시스템으로 수렴한다: 매수 및 매도 가격은 SDE에 의해 지배되는 확산 과정을 따른다.
• 거래량 밀도 함수는 힐버트 공간 내에서 상미분방정식을 따라 변화하며, 가격 수준별로 서 있는 지정가 주문의 분포를 포착한다.
• 주문 도착 및 취소 강도는 볼테라-프레드홀름 적분방정식을 만족하여 기억 효과와 피드백 효과를 반영한다.
• 표준 가정 하에서 극한에서 스프레드가 엄격하게 양수로 유지되어 시스템의 비퇴화성을 보장한다.
• 극한 과정은 경로에 의존하는 생성자와 관련된 마틴게일 문제를 만족하며, 추가 조건 하에서 해는 유일하다.
• 코herence 및 약한 수렴성 증명을 통해 법적 수렴이 확립되었으며, 극한에서 마틴게일 항목의 거의 확실 수렴이 성립한다.