[논문 리뷰] A Schwartz type algebra for the Tangent Groupoid

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|2008. 02. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 리 군oids $\mathscr{G}$의 접선 군oids $\mathscr{G}^T$ 위에 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$로 표기되는 스웨츠 타입 대수를 구성한다. 이 대수는 $[0,1]$ 위에 연속적인 대수의 필드를 이룬다. $t=0$에서의 섬유는 리 대수oids의 스웨츠 대수 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$이며, $t>0$에서의 섬유는 콤팩트 지지 함수들의 콘볼루션 대수 $C^\infty_c(\mathscr{G})$이다. 이러한 중간 대수 구조는 순환 코hom로지 이론과 케른-콘스 캐릭터 이론에 호환되는 정밀한 인덱스 사상 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct an algebra of smooth functions over the tangent groupoid associated to any Lie groupoid. This algebra is a field of algebras over the closed interval [0, 1] which fiber at zero is the algebra of Schwartz functions over the Lie algebroid, whereas any fiber out of zero is the convolution algebra of the initial groupoid. Our motivation comes from index theory for Lie groupoids. In fact, our construction gives an intermediate algebra between the enveloping C-algebra and the convolution algebra of compactly supported functions of the tangent groupoid; and it will allows us, in a further work, to define other analytic index morphisms as a sort of deformations.

연구 동기 및 목표

• 리 군oids의 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ 와 $C^*(\mathscr{G})$ 수준 사이의 중간 대수를 구성하기 위해.
• $C^\infty_c(\mathscr{G})$-인덱스의 한계를 극복하기 위해, 이는 호모토피 불변성이 없지만 순환 코호몰로지 도구와의 호환성은 유지하기 위해.
• 접선 군oids 위에 스무스하고 기하학적으로 자연스러운 대수적 구조를 제공하여, $t=0$에서 리 대수oids와 $t>0$에서 군oids 사이를 보간하도록 하기 위해.
• Chern-Connes 캐릭터 이론을 통한 순환 코호모로지 쌍형과의 페어링이 가능한 $K_0$-이론에서의 새로운 해석적 인덱스 사상 정의를 가능하게 하기 위해.
• C*-대수의 경우와 유사한 짧은 임의의 정확한 수열을 수립하여, $C^*$-호모토피 불변성에 의존하지 않고도 스무스 수준에서의 인덱스 이론을 지원하기 위해.

제안 방법

• 접선 군oids $\mathscr{G}^T = A\mathscr{G} \times \{0\} \sqcup \mathscr{G} \times (0,1]$ 위에 스무스 함수의 층을 구성하고, $t=0$에서 스웨츠 타입의 감쇠 조건을 부여하기 위해.
• 대수 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$를 $t=0$ 섬유(리 대수oids)에서 빠르게 감쇠하는 스무스 함수들로 정의하며, $t>0$ 섬유(군oids)에서는 콤팩트 지지가 있는 함수들로 한다.
• 국소적 평탄화와 미분형태 불변성을 사용하여 전이 매핑을 통해 전역적으로 대수를 정의하고, 차트 간의 일致성을 보장한다.
• 모든 $t \in [0,1]$에 대해 평가 사상 $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to \mathscr{S}(A\mathscr{G})$ ($t=0$일 때) 및 $e_t: \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \to C^\infty_c(\mathscr{G})$ ($t>0$일 때)를 정의하여 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 가 $[0,1]$ 위의 연속적인 대수의 필드임을 보장한다.
• 분할 단위와 전이 매핑의 사용을 통해 대수의 미분형태 불변성과 아틀라스 간 일致성을 증명한다.
• C*-대수의 경우와 유사한 짧은 정확한 수열 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$을 수립하여 향후 스무스 수준에서의 인덱스 이론을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접선 군oids 위에 리 대수oids의 스웨츠 대수와 군oids의 콘볼루션 대수 사이를 보간하는 스무스하고 기하학적으로 자연스러운 대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 대수가 해석적 인덱스 사상의 정의를 가능하게 하는가? 이 사상들은 $C^\infty_c$-인덱스처럼 정밀하며, 동시에 Chern-Connes 캐릭터 이론과의 호환성도 유지하는가?
• RQ3 C*-대수의 경우와 유사한 짧은 정확한 수열을 스무스 수준에서 구성할 수 있는가? 이는 $C^*$-호모토피 불변성에 의존하지 않는 인덱스 이론을 지원하기 위해이다.
• RQ4 접선 군oids의 대수적 구조를 어떻게 활용하여 $C^*$-인덱스보다 더 정밀하고 $C^\infty_c$-인덱스보다 더 안정적인 인덱스 사상을 정의할 수 있는가?
• RQ5 결과로 얻어진 대수는 기하학적이고 해석적 제어를 유지하면서 변형 이론적 접근을 통한 인덱스 이론을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 대수 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ 는 $[0,1]$ 위에 연속적인 대수의 필드를 이룬다. $t=0$에서의 섬유는 리 대수oids의 스웨츠 대수 $\mathscr{S}(A\mathscr{G})$ 와 동형이며, $t>0$에서의 섬유는 $\mathscr{G}$ 위의 콤팩트 지지 스무스 함수들의 콘볼루션 대수 $C^\infty_c(\mathscr{G})$ 와 동형이다.
• 포함관계 $C^\infty_c(\mathscr{G}^T) \subset \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \subset C^*(\mathscr{G}^T)$ 가 성립하여, 새로운 대수가 스무스 수준과 $C^*$-수준 사이의 자연스러운 중간 대상임을 보여준다.
• 평가 사상 $e_t$ 는 잘 정의된 대수의 준동형사상이며, 이는 대수의 구조가 $[0,1]$ 위의 필드와 호환되며, 섬유 대수들이 정확히 구현됨을 보장한다.
• 이 구성은 미분형태 불변성과 차트 간의 일致성을 보장하며, 접선 군oids 위에서 전역적으로 잘 정의되어 있음을 보여준다.
• C*-대수의 경우와 유사한 짧은 정확한 수열 $0 \to J \to \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T) \xrightarrow{e_0} \mathscr{S}(A\mathscr{G}) \to 0$ 이 수립되었으며, 이는 향후 스무스 수준에서의 인덱스 이론을 지원한다.
• 이 대수는 $K_0$-이론에서의 새로운 해석적 인덱스 사상 정의를 위한 프레임워크를 제공하며, Chern-Connes 캐릭터 이론과의 호환성이 보장되어, $C^\infty_c$-인덱스와 $C^*$-인덱스의 한계를 모두 극복한다.