[논문 리뷰] A Self-Dual Hopf Algebra on Double Partially Ordered Sets

Claudia Malvenuto, Christophe Reutenauer|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 이중 부분순서집합(이중 포스엣)의 동형류에 대해 이들을 이산합집합으로 곱으로, 첫 번째 순서에 대한 순서이deal로의 자연스러운 분해를 코곱으로 사용하여 자기쌍대 호프 대수를 구성한다. 핵심 기여는 이중 포스엣 간의 '그림'을 세는 스칼라곱으로, 리틀우드-리치아드슨 규칙을 일반화하고 스탠리의 레이블된 포스엣 및 순열의 호프 대수와 등거리이며 내부곱을 보존하는 준동형사상으로 연결된다.

ABSTRACT

Let $\mathbf D$ be the set of isomorphism types of finite double partially ordered sets, that is sets endowed with two partial orders. On $\BZ\mathbf D$ we define a product and a coproduct, together with an internal product, that is, degree-preserving. With these operations $\BZ\mathbf D$ is a Hopf algebra, self-dual with respect to a scalar product which counts the number of pictures (in the sense of Zelevinsky) between two double posets. The product and coproduct correspond respectively to disjoint union of posets and to a natural decomposition of a poset into order ideals. Restricting to special double posets (meaning that the second order is total), we obtain a notion equivalent to Stanley's labelled posets, and obtain a sub-Hopf-algebra already considered by Blessenohl and Schocker. The mapping which maps each double poset onto the sum of the linear extensions of its first order, identified via its second (total) order with permutations, is a Hopf algebra homomorphism, which is isometric and preserves the internal product, onto the Hopf algebra of permutations, previously considered by the two authors. Finally, the scalar product between any special double poset and double posets naturally associated to integer partitions is described by an extension of the Littlewood-Richardson rule.

연구 동기 및 목표

• 유한 이중 포스엣의 동형류에 대해 새로운 자기쌍대 호프 대수 구조를 정의하기.
• 이중 포스엣 간의 '그림'에 기반한 스칼라곱을 정의하여 제레브린스키의 비대칭 슈어 함수에 대한 그림 세기 정의를 일반화하기.
• 두 번째 순서가 전순서인 특수 이중 포스엣의 부분호프대수는 스탠리의 레이블된 포스엣과 동형이며, 순열의 호프 대수로 등거리로 사상됨을 보이기.
• 스칼라곱을 계산하기 위해 특수 이중 포스엣과 정수 분할과 관련된 이중 포스엣 간의 리틀우드-리치아드슨 규칙을 확장하기.

제안 방법

• 이중 포스엣의 자유 Z-모듈러스 위에서 이산합집합을 곱으로 정의하며, 두 부분순서를 모두 유지하기.
• 첫 번째 순서에 대한 순서이deal과 그 여집합으로의 분해를 통해 코곱을 정의하며, 각 성분에 대해 두 순서를 제한하기.
• 스칼라곱 ⟨x, y⟩를 이중 포스엣 x에서 y로의 순서를 유지하는 사상(그림)의 수로 정의하며, 제레브린스키의 정의를 일반화하기.
• 이로 인해 얻어진 대수는 등급이 있고 연결된 비알제브라이어이므로 호프 대수가 되며, 이 스칼라곱에 대해 자기쌍대임을 보이기.
• 두 번째 순서가 전순서인 특수 이중 포스엣으로 제한하여 스탠리의 레이블된 포스엣을 회복하고, 순열 호프 대수로의 호프 대수 준동형사상을 수립하기.
• 표준 양태 표의 행과 읽기어, 그리고 그들의 역과 함께 순열과 체계를 이용하여 스칼라곱을 특성화하고 리틀우드-리치아드슨 규칙을 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 포스엣에 대해 조합적 연산을 사용하여 자기쌍대 호프 대수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이중 포스엣 간의 '그림'이 리틀우드-리치아드슨 규칙을 일반화하는 스칼라곱을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 두 번째 순서가 전순서인 특수 이중 포스엣의 부분호프대수는 스탠리의 레이블된 포스엣과 순열의 호프 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 특수 이중 포스엣과 정수 분할과 관련된 이중 포스엣 간의 스칼라곱은 확장된 리틀우드-리치아드슨 규칙으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 특수 이중 포스엣에서 순열 호프 대수로의 자연스러운 준동형사상은 등거리이며 내부곱을 보존하는가?

주요 결과

• 이중 포스엣의 동형류에 대한 자유 Z-모듈러스는 이산합집합(곱)과 순서이deal로의 분해(코곱)에 대해 자기쌍대 호프 대수가 되며, 이중 포스엣 간의 그림 수를 세는 것으로 정의된 쌍대성에 기반한다.
• 스칼라곱 ⟨x, y⟩는 x에서 y로의 순서를 유지하는 사상(그림)의 수를 세며, 비대칭 형태에 대한 제레브린스키의 그림 세기 정의를 일반화한다.
• 두 번째 순서가 전순서인 특수 이중 포스엣의 부분호프대수는 스탠리의 레이블된 포스엣과 동형이며, 순열의 호프 대수로 등거리로 사상된다.
• 특수 이중 포스엣에서 순열 호프 대수로의 준동형사상은 등거리이며 내부곱을 보존한다.
• 특수 이중 포스엣과 정수 분할과 관련된 이중 포스엣 간의 스칼라곱은 리틀우드-리치아드슨 규칙의 확장으로 계산된다.
• 표준 양태 표의 읽기어는 최장 원소와 양태 하위군 원소를 포함하는 순열을 통해 레이블된 레이블링의 역수와 관련이 있다.