[논문 리뷰] A Semi-Algebraic Framework for Verification and Synthesis of Control Barrier Functions

Andrew L. Clark|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 31.

Formal Methods in Verification인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어 시스템에서 제어 장벽 함수(Control Barrier Functions, CBFs)의 정확한 검증 및 합성에 대해 포지티브스텔렌자트(Positivstellensatz) 기반의 반대칭 대수적 프레임워크를 제안한다. 다양한 제약 조건—작동 제한, 삼각함수 동역학, 오일러-라그랑주 시스템—하에 CBF를 검증하기 위해 볼록이고 제곱합(SOS) 프로그램을 수립하며, 세 가지 합성 알고리즘을 제안한다. 이 중에는 국소적으로 2차 수렴 속도를 보장하는 새로운 뉴턴 기반 방법이 포함되어 있어, 복잡한 시스템에 대해 검증 가능한 안전 보장을 보장한다.

ABSTRACT

Safety is a critical property for control systems in medicine, transportation, manufacturing, and other applications, and can be defined as ensuring positive invariance of a predefined safe set. This paper investigates the problems of verifying positive invariance of a semi-algebraic set as well as synthesizing sets that can be made positive invariant through Control Barrier Function (CBF)-based control. The key to our approach consists of mapping conditions for positive invariance to sum-of-squares constraints via the Positivstellensatz from real algebraic geometry. Based on these conditions, we propose a framework for verifying safety of CBF-based control including single CBFs, high-order CBFs, multi-CBFs, and systems with trigonometric dynamics and actuation constraints. In the area of synthesis, we propose algorithms for constructing CBFs, namely, an alternating-descent approach and a local CBF approach. We evaluate our approach through case studies on quadrotor UAV and power converter test systems.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 동역학과 제약 조건을 가진 비선형 시스템에서 제어 장벽 함수(CBFs)를 완전하고 검증 가능한 방법으로 검증할 수 있는 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 기존의 제곱합(SOS) 히وري스틱 기법이 유효한 CBF를 검증하지 못할 수 있는 불완전성 문제를 해결하기 위해.
• 검증 가능한 안전성 특성을 보장하는 유효한 CBF로 수렴하는 합성 알고리즘 개발을 위해.
• 고차 CBF, CBF의 합집합 및 교집합, 삼각함수 및 오일러-라그랑주 동역학을 포함한 시스템으로 CBF 검증 및 합성의 범위를 확장하기 위해.
• 안전 중심 제어 시스템 설계를 위한 통합적이고 정확하며 계산적으로 실현 가능한 프레임워크 제공을 위해.

제안 방법

• 대수기하학적 포지티브스텔렌자트를 활용하여, 함수가 유효한 CBF임을 검증하기 위한 정확하고 볼록한 SOS 조건을 유도한다.
• 파르카스의 보조정리(Farkas’s Lemma) 및 그 일반화를 적용하여 제어 입력 초입체의 정점에서 조건을 점검하는 방식으로 작동 제약 조건이 존재하는 시스템을 다루며, 검증 문제를 단순화한다.
• 라이 드리프트 조건을 다항식 부등식 시스템으로 재구성함으로써 오일러-라그랑주 동역학을 가진 시스템에서 CBF 검증을 위한 정확한 SOS 프로그램을 유도한다.
• 함수 공간에서의 뉴턴 방법을 CBF 합성에 제안하였으며, 국소적으로 2차 수렴 속도를 보임을 증명하였다.
• 고정점과 드리프트 없는 동역학을 가진 시스템을 위해 교차 내림내림(Alternating-descent) 알고리즘과 국소 CBF 구축 방법을 제안하였다.
• 다중 CBF의 합집합 및 교집합, 고차 CBF, 그리고 반대칭 안전 집합을 다룰 수 있도록 프레임워크를 일반화하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작동 제약 조건이 존재하는 비선형 시스템에서 대수기하 도구를 활용하여 제어 장벽 함수의 정확하고 완전한 검증이 가능할 수 있는가?
• RQ2 포지티브스텔렌자트는 비다항식 동역학을 가진 시스템에서 CBF 검증을 위한 볼록한 제곱합(SOS) 프로그램을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 합성 알고리즘이 검증 가능한 안전성을 보장하면서도 유효한 CBF로 수렴할 수 있는가? 특히 고차 또는 제약 조건이 있는 시스템에서의 적용을 고려하여.
• RQ4 이 프레임워크는 보장된 정확도를 확보하면서 오일러-라그랑주 및 삼각함수 시스템과 같은 복잡한 시스템 동역학을 다룰 수 있는가?
• RQ5 CBF 합성에 대한 뉴턴 기반 방법의 수렴 속도는 얼마이며, 이는 유효한 CBF로의 국소 수렴을 보장하는가?

주요 결과

• CBF 검증 문제는 NP-난이도임이 증명되었으며, 기존의 SOS 기반 히وري스틱 기법은 불완전함을 보이며, 정확한 방법의 필요성을 강조한다.
• 제안된 포지티브스텔렌자트 기반 프레임워크는 작동 제약 조건 및 오일러-라그랑주 동역학을 포함한 광범위한 시스템 클래스에서 정확하고 볼록한 SOS 조건을 제공한다.
• 국소적으로 2차 수렴 속도를 보장하는 뉴턴 방법 기반 합성 알고리즘이 제안되었으며, 이는 문헌에서 새로운 결과이다.
• 고차 CBF, CBF의 합집합 및 교집합, 삼각함수 동역학을 포함한 시스템으로의 프레임워크 확장은 충분한 SOS 기반 조건을 통해 성공적으로 수행되었다.
• 교차 내림내림 및 국소 CBF 합성 방법은 이전의 접근 방식을 일반화하였으며, 드리프트 없는 시스템 및 고정점이 있는 시스템에 적용 가능하다.
• 이론적 분석 및 시뮬레이션 결과는 프레임워크가 자율주행차 및 로봇 액추에이터와 같은 실제 안전 중심 시스템에 적용 가능함을 확인한다.