[논문 리뷰] A Separation Between Run-Length SLPs and LZ77

Philip Bille, Travis Gagie외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 20.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 런레ング스 스트레이트라인 프로그램(RLSLP)과 LZ77 파싱 간의 초수상 분리(super-constant separation)를 확립한다. 이는 무한한 문자열 가족을 구성함으로써, 최소 RLSLP 크기가 LZ77 파싱 크기보다 점점 커지는 인자 Ω(log n / log log n)만큼 점점 더 크게 된다는 것을 보여준다. 이 결과는 RLSLP가 LZ77를 항상 능가할 수 없음을 보여주며, LZ77 압축에 비해 문법 압축 확장의 근본적인 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper we give an infinite family of strings for which the length of the Lempel-Ziv'77 parse is a factor $Ω(\log n/\log\log n)$ smaller than the smallest run-length grammar.

연구 동기 및 목표

• 런레ング스 SLP(RLSLP)가 압축 크기 측면에서 LZ77 파싱을 능가할 수 있는지 조사하기.
• SLP에 런레ング스 규칙을 추가한 RLSLP가 LZ77의 압축 비율을 따라하거나 초월할 수 있는지 확인하기.
• RLSLP가 LZ77 압축보다 엄격히 더 강력한가라는 열린 질문을 해결하기.
• RLSLP와 LZ77 간의 압축 효율성에서 증명 가능한 분리를 보여주는 명시적 무한한 문자열 가족을 구성하기.

제안 방법

• 제곱이 없는(squarfree)이고 알려진 바에 의하면 LZ77 파싱 크기가 작은 것으로 알려진 Diff-Thue-Morse 수열을 바탕으로 무한한 문자열 가족을 구성하기.
• Diff-Thue-Morse 수열의 제곱이 없음을 이용해, 이를 기반으로 유도된 문자열에 대해 최소 문법 크기와 최소 RLSLP 크기를 동일시함.
• Charikar 등(2005)의 기존 구성법을 활용하여, LZ77 파싱 크기 대비 최소 문법 크기가 큰 문자열을 생성하기.
• 이러한 문자열에 대한 최소 RLSLP 크기가 Ω(log²k₁ / log log k₁)임을 증명하기. 여기서 k₁은 구성에서 가장 큰 지수이다.
• Thue-Morse 수열과 그 차분 수열에 대한 알려진 LZ77 경계를 이용해, 동일한 문자열의 LZ77 파싱 크기가 O(log k₁)임을 증명하기.
• k₁을 총 문자열 길이 n과 연결함으로써, 점근적 비율 g*rl / z_no = Ω(log n / log log n)을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 런레ング스 SLP(RLSLP)는 LZ77 파싱보다 점근적으로 더 좋은 압축 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 최소 RLSLP 크기가 LZ77 파싱 크기보다 상당히 큰 무한한 문자열 가족이 존재하는가?
• RQ3 SLP에 런레ング스 규칙을 추가함으로써, 문법 압축과 LZ77 압축 간의 격차가 줄어들 수 있는가?
• RQ4 RLSLP는 파싱 크기 측면에서 항상 LZ77 압축을 능가할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 RLSLP 크기가 Ω(log²k₁ / log log k₁)인 무한한 문자열 가족이 존재한다. 여기서 k₁은 문자열 구성에서 가장 큰 지수이다.
• 동일한 문자열에 대한 LZ77 파싱 크기는 Thue-Morse 수열과 그 차분 수열에 대한 알려진 경계에 기반해 O(log k₁)이다.
• 최소 RLSLP 크기와 LZ77 파싱 크기 간의 비율은 Ω(log n / log log n)이다. 여기서 n은 총 문자열 길이이다.
• 이 비율은 일부 경우에서 LZ77 압축(중복 없이)이 RLSLP 압축보다 엄격히 우월함을 보여주며, RLSLP가 항상 LZ77를 능가할 수 없다는 것을 반증한다.
• 이 결과는 RLSLP가 런레ング스 규칙을 추가하더라도, LZ77 압축의 전반적인 능력을 완전히 포괄할 수 없다는 것을 암시한다.