[논문 리뷰] A seventeenth-order polylogarithm ladder

David H. Bailey, David Broadhurst|ArXiv.org|1999. 06. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 레이머의 다항식에서 유도된 가장 작은 세일름 수 α₁를 사용하여 17차 다이로그 래더를 신규로 구성한다. 인덱스 k=630에서의 순환관계와 PSLQ 알고리즘을 활용하여, 125개의 상수—Li₁₇(α₁⁻ᵏ) 및 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ—사이의 경험적 정수관계를 발견하였으며, 이 관계는 59,000자리 이상의 정밀도로 검증되어 17차에서 유일한 래더임을 확인한다.

ABSTRACT

Cohen, Lewin and Zagier found four ladders that entail the polylogarithms ${ m Li}_n(α_1^{-k}):=\sum_{r>0}α_1^{-k r}/r^n$ at order $n=16$, with indices $k\le360$, and $α_1$ being the smallest known Salem number, i.e. the larger real root of Lehmer's celebrated polynomial $α^{10}+α^9-α^7-α^6-α^5-α^4-α^3+α+1$, with the smallest known non-trivial Mahler measure. By adjoining the index $k=630$, we generate a fifth ladder at order 16 and a ladder at order 17 that we presume to be unique. This empirical integer relation, between elements of $\{{ m Li}_{17}(α_1^{-k})\mid0\le k\le630\}$ and $\{π^{2j}(\logα_1)^{17-2j}\mid 0\le j\le8\}$, entails 125 constants, multiplied by integers with nearly 300 digits. It has been checked to more than 59,000 decimal digits. Among the ladders that we found in other number fields, the longest has order 13 and index 294. It is based on $α^{10}-α^6-α^5-α^4+1$, which gives the sole Salem number $α<1.3$ with degree $d<12$ for which $α^{1/2}+α^{-1/2}$ fails to be the largest eigenvalue of the adjacency matrix of a graph.

연구 동기 및 목표

• 가장 작은 알려진 세일름 수 α₁를 사용하여 기존의 16차 다이로그 래더를 17차로 확장한다.
• 이전의 추측과는 반대로, 홀수 차수에서 다이로그 래더가 존재하는지 여부를 조사한다.
• k=630에서의 순환 항등식을 바탕으로 다이로그 값과 π 및 log α₁의 거듭제곱 사이의 새로운 경험적 정수관계를 수립한다.
• 순환관계, 세일름 수, 그리고 수체 내 다이로그 래더의 구조 간의 관계를 탐색한다.
• 고정밀 산술과 PSLQ 알고리즘을 사용하여 발견된 관계의 수치적 안정성과 정확성을 검증한다.

제안 방법

• 저자들은 레이머의 다항식에서 유도된 세일름 수 α₁에 대해 k=630에서의 순환관계를 식별하여 17차 래더의 구축을 가능하게 한다.
• PSLQ 정수관계 탐색기를 적용하여 Li₁₇(α₁⁻ᵏ)와 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ의 선형 조합이 ζ(17)의 유리수 배와 일치하는지 탐색한다.
• 알고리즘은 4,000자리 미만의 작업 정밀도로 고정밀 산술을 사용하여 관계를 59,000자리 이상 검증한다.
• 집합 D(S)는 특정한 36개의 정수로 구성된 집합 S에서 유도되며, S의 원소들의 약수이자 다이로그 항이 0이 아닌 값을 갖는 인덱스를 포함한다.
• 관계에 포함된 계수는 거의 300자리의 정수이며, 부분적으로 소인수분해되었으며, 수치적 우연의 가능성은 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰ 이하임을 확인하였다.
• 이 방법은 레이머의 다항식이 정의하는 수체계의 자기역행성과 순환노름 조건을 기반으로 하여 가능한 인덱스를 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전의 추측과는 반대로, 홀수 차수에서 다이로그 래더가 존재하는가?
• RQ2 세일름 수 α₁에 대해 k=630에서의 순환관계가 다이로그 공간에서 새로운 래더를 생성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 Li₁₇(α₁⁻ᵏ)와 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ의 곱 사이의 정수관계의 구조는 어떻게 되며, 몇 개의 항이 포함되는가?
• RQ4 발견된 관계는 고정밀도 검증에 대해 수치적으로 안정적이고 강건한가?
• RQ5 래더를 최소화하고 중복을 피하기 위해 D(S) 집합이 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 17차 다이로그 래더가 발견되었으며, 이는 기존의 16차 래더를 확장한 것으로, 고유하다고 여겨진다.
• 관계는 125개의 비영인 정수 계수를 포함하며, 가장 큰 계수는 거의 300자리의 숫자이며, 59,000자리 이상의 정밀도로 검증되었다.
• ζ(17)의 계수는 부분적으로 소인수분해되어 2⁷ × 3⁷ × 5⁴ × 7 × 11 × 13 × 17 × 722063 × 15121339 × 379780242109750106753 × 5724771750303829791195961 × C₂₁₇로 표현되며, 여기서 C₂₁₇는 217자리의 합성수이다.
• 래더는 레이머의 다항식의 더 큰 실근으로서 α₁ ≈ 1.17628인 가장 작은 알려진 세일름 수를 기반으로 하며, 이는 가장 작은 비자명한 마라 메이저 측정값을 제공한다.
• 집합 D(S)는 115개의 양의 정수를 포함하며, S = {29, 47, 50, ..., 630}의 원소들의 약수이자 k=630이 가장 큰 인덱스임을 포함한다.
• 관계의 수치적 우연의 가능성은 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰ 이하이며, 이는 매우 높은 신뢰도로 경험적 결과를 확인한다.