[논문 리뷰] A Sharp Double Inequality for the Inverse Tangent Function

Gholamreza Alirezaei|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 18.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 π에서 유도된 최적의 상수를 사용하여, $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$ 형태의 유리함수를 이용해 역탄젠트 함수를 날카롭게 둘러싸는 날카운 이중부등식을 제시한다. 제안된 경계는 하한부 등장 상대오차 약 0.27%와 상한부 약 0.23%를 기록하며, 샤퍼의 부등식보다 크게 향상되었고, 분석적 오차 분석과 단조성 논증을 통해 최적성임이 증명된다.

ABSTRACT

The inverse tangent function can be bounded by different inequalities, for example by Shafer's inequality. In this publication, we propose a new sharp double inequality, consisting of a lower and an upper bound, for the inverse tangent function. In particular, we sharpen Shafer's inequality and calculate the best corresponding constants. The maximum relative errors of the obtained bounds are approximately smaller than 0.27% and 0.23% for the lower and upper bound, respectively. Furthermore, we determine an upper bound on the relative errors of the proposed bounds in order to describe their tightness analytically. Moreover, some important properties of the obtained bounds are discussed in order to describe their behavior and achieved accuracy.

연구 동기 및 목표

• 역탄젠트 함수에 대한 샤퍼의 부등식을 개선하기 위해 분석적으로 최적의 상수를 갖는 더 날카운 이중부등식을 유도하는 것.
• 모든 실수 $x$에 대해 $\arctan(x)$를 잘 둘러싸는 형태 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}}$의 유리근사를 개발하는 것.
• 제안된 하한 및 상한 경계의 상대오차에 대한 상한을 분석적으로 결정하여 그 날카움을 정량화하는 것.
• 계수 트리플의 각 성분이 부등식을 깨뜨리지 않도록 개선될 수 없음을 보여줌으로써 유도된 상수의 최적성(최선성)을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자는 $\pi^2$에서 유도된 계수를 갖는 두 유리함수 $f(x)$와 $h(x)$를 정의한다. 하한부에 대해 $c_1 = \frac{4}{\pi^2}$, $c_2 = \left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2$, $c_3 = \frac{4}{\pi^2}$이며, 상한부에 대해 $c_1 = 1 - \frac{6}{\pi^2}$, $c_2 = \left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2$, $c_3 = \frac{4}{\pi^2}$이다.
• 차이 함수 $\Delta_f(x) = \arctan(x) - f(x)$와 $\Delta_h(x) = h(x) - \arctan(x)$의 대칭성과 단조성 분석을 통해 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 이중부등식 $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$를 증명한다.
• 증명은 각 차이 함수가 $x > 0$에서 정확히 하나의 임계점을 가지며, 시작과 끝에서 0이 되고, 비음수를 유지함을 보여 이중부등식이 성립함을 뒷받침한다.
• 상대오차 함수 $r_f(x) = \frac{\arctan(x) - f(x)}{\arctan(x)}$와 $r_h(x) = \frac{h(x) - \arctan(x)}{\arctan(x)}$를 분석하여 최대 상대오차의 상한을 유도한다.
• 두 경계의 상대오차를 비교하기 위해 집합 $\mathds{I}_f$와 $\mathds{I}_h$를 정의하고, 두 오차의 최댓값을 둘러싸는 부등식을 유도한다.
• 분석적 오차 상한은 항등식 $\max(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$와 $\min(r_f, r_h) \leq \frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)} \leq \max(r_f, r_h)$를 사용하여 유도되며, 이는 경계의 날카움을 정량화하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 실수 $x$에 대해 형태 $\frac{x}{c_1 + \sqrt{c_2 + c_3 x^2}} < \arctan(x) < \frac{x}{d_1 + \sqrt{d_2 + d_3 x^2}}$인 최적의 이중부등식은 무엇인가?
• RQ2 상수 $c_1, c_2, c_3$와 $d_1, d_2, d_3$는 최대 상대오차를 최소화하도록 분석적으로 최적화될 수 있는가?
• RQ3 경계의 상대오차는 어떻게 분석적으로 상한을 구할 수 있으며, 이를 통해 그 날카움을 정량적으로 묘사할 수 있는가?
• RQ4 유도된 이중부등식은 최선인가? 즉, 계수 트리플의 어떤 상수도 부등식을 위반하지 않도록 개선될 수 없는가?
• RQ5 증명의 지원을 위해 차이 함수 $\Delta_f(x)$와 $\Delta_h(x)$의 단조성 및 임계점 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 하한 경계 $f(x) = \frac{x}{\frac{4}{\pi^2} + \sqrt{\left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$는 최대 상대오차 약 0.27%를 기록한다.
• 제안된 상한 경계 $h(x) = \frac{x}{1 - \frac{6}{\pi^2} + \sqrt{\left(\frac{6}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4x^2}{\pi^2}}}$는 최대 상대오차 약 0.23%를 기록한다.
• 이중부등식 $|f(x)| \leq |\arctan(x)| \leq |h(x)|$는 모든 실수 $x$에 대해 성립하며, 경계가 최선임이 증명되었고, 계수 트리플의 어떤 계수도 부등식을 깨뜨리지 않도록 개선될 수 없다.
• 경계의 상대오차는 분석적으로 상한이 구해졌으며, $\max(r_f(x), r_h(x)) \leq \frac{h(x) - f(x)}{f(x)}$와 $\frac{h(x) - f(x)}{h(x) + f(x)}$는 날카운 중간 상한으로 기능한다.
• 차이 함수 $\Delta_f(x)$와 $\Delta_h(x)$는 비음수임이 입증되었고, $x > 0$에서 정확히 하나의 최댓값을 갖는다. 이는 이중부등식의 타당성을 확인한다.
• 분석은 함수 $f(x)$, $\arctan(x)$, $h(x)$가 점대칭임을 확인하며, 이는 부등식을 $x \geq 0$에서만 검증하면 된다는 것을 의미한다.