[논문 리뷰] A sharp Trudinger-Moser inequality on any bounded and convex planar domain

Guozhen Lu, Qiaohua Yang|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 22.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Wang과 Ye의 추측을 확인하며, 유닛 디스크로 문제를 이전하기 위해 리만 매핑 정리를 활용함으로써, 모든 유계이고 볼록한 평면 영역에서 날카로운 Trudinger-Moser 부등식이 성립함을 보여준다. 이는 재배열을 사용하지 않는 방법을 통해 강화된 Trudinger-Moser 부등식을 수립함으로써 이루어지며, 최적 상수 $4\pi\pi$와 도메인에만 의존하는 유한한 상한이 존재함을 보여준다. 특히 경계의 미분 가능성 조건 없이도 성립한다.

ABSTRACT

Wang and Ye conjectured in [22]: Let $Ω$ be a regular, bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$. There exists a finite constant $C(Ω)>0$ such that \[ \int_Ωe^{\frac{4πu^{2}}{H_{d}(u)}}dxdy\le C(Ω),\;\;\forall u\in C^{\infty}_{0}(Ω), \] where $H_{d}=\int_Ω| abla u|^{2}dxdy-\frac{1}{4}\int_Ω\frac{u^{2}}{d(z,\partialΩ)^{2}}dxdy$ and $d(z,\partialΩ)=\min\limits_{z_{1}\in\partialΩ}|z-z_{1}|$.} The main purpose of this paper is to confirm that this conjecture indeed holds for any bounded and convex domain in $\mathbb{R}^{2}$ via the Riemann mapping theorem (the smoothness of the boundary of the domain is thus irrelevant). We also give a rearrangement-free argument for the following Trudinger-Moser inequality on the hyperbolic space $\mathbb{B}=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<1\}$: \[ \sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1} \int_{\mathbb{B}}(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})dV=\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}}\leq 1}\int_{\mathbb{B}}\frac{(e^{4πu^{2}}-1-4πu^{2})}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy< \infty, \] by using the method employed earlier by Lam and the first author [9, 10], where $\mathcal{H}$ denotes the closure of $C^{\infty}_{0}(\mathbb{B})$ with respect to the norm $$\|u\|_{\mathcal{H}}=\int_{\mathbb{B}}| abla u|^{2}dxdy-\int_{\mathbb{B}}\frac{u^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}dxdy.$$ Using this strengthened Trudinger-Moser inequality, we also give a simpler proof of the Hardy-Moser-Trudinger inequality obtained by Wang and Ye [22].

연구 동기 및 목표

• 유계이고 볼록한 영역 $\mathbb{R}^2$ 전역에서 Wang과 Ye의 날카로운 Trudinger-Moser 부등식 존재에 대한 추측을 해결하는 것.
• 대칭화나 재배열 기법에 의존하지 않고, 초구형 공간 $\mathbb{B}$에서 강화된 Trudinger-Moser 부등식을 수립하는 것.
• 강화된 부등식을 기반으로 하드리-모저-트루딩어 부등식에 대한 새로운이고 더 단순한 증명을 제공하는 것.
• 등각 변환에 의해 날카로운 상수가 유지됨을 보여주며, 일반적인 볼록 도메인으로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 모든 유계이고 볼록한 평면 영역 $\Omega$를 단위 디스크 $\mathbb{B}$로 등각적으로 매핑함으로써 기능의 구조를 유지하는 데 리만 매핑 정리를 활용한다.
• Lam과 Lu [9,10]의 영감을 받은 재배열을 사용하지 않는 방법을 적용하여, $\mathbb{B}$에서 $\frac{1}{(1-|z|^2)^2}$ 가중치를 포함한 날카로운 Trudinger-Moser 부등식을 유도한다.
• 적분 추정과 등각 불변성에 기반하여, $\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$ 를 수립한다.
• 디리클레 에너지와 하드리 유형 항의 등각 불변성을 활용하여, $\Omega$에서의 가중치 $\frac{1}{d(z,\partial\Omega)^2}$ 를 등각 매핑의 자코비안을 통해 $\mathbb{B}$의 하이퍼볼릭 가중치로 연결한다.
• 등급 향상된 하드리 부등식 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C \int_{\Omega} u^2 dx dy$ 를 적용하여 $u$의 $L^2$-노름을 제어한다.
• 등각 변환과 자코비안의 점별 하한을 활용하여, $\mathbb{B}$에서의 가중치 Trudinger-Moser 유계성과 결합함으로써, 최종적으로 $\Omega$에서의 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 미분 가능성 조건 없이도, $\mathbb{R}^2$ 내 모든 유계 볼록 도메인에서 Wang-Ye의 날카로운 Trudinger-Moser 부등식 추측이 성립하는가?
• RQ2 하이퍼볼릭 공간과 관련 도메인에서 재배열을 사용하지 않는 방법으로 날카로운 Trudinger-Moser 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 하드리 유형 보정 항이 포함된 경우, Trudinger-Moser 부등식의 지수 상수 $4\pi$ 가 최적인가?
• RQ4 하이퍼볼릭 Trudinger-Moser 부등식의 등각 불변성을 활용하여 일반적인 볼록 도메인으로 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 등각 매핑 하에서 경계까지의 거리 $d(z,\partial\Omega)$ 와 하이퍼볼릭 거리 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Wang-Ye의 추측이 확인됨: 모든 유계이고 볼록한 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 에 대해, $\int_{\Omega} \exp\left(\frac{4\pi u^2}{H_d(u)}\right) dx dy \leq C(\Omega)$ 를 만족하는 유한한 상수 $C(\Omega)$ 가 존재함을 보여주며, 이는 모든 $u \in C_0^\infty(\Omega)$ 에 대해 성립한다. 여기서 $H_d(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy$ 이다.
• 하이퍼볼릭 디스크에서 강화된 Trudinger-Moser 부등식이 증명됨: $\sup_{\|u\|_{\mathcal{H}} \leq 1} \int_{\mathbb{B}} \frac{e^{4\pi u^2} - 1 - 4\pi u^2}{(1-|z|^2)^2} dx dy < \infty$ 이며, 상수 $C_2$ 는 $u$ 에 영향을 받지 않는다.
• 증명은 대칭화를 피하고 등각 불변성과 점별 추정에 기반하여, 하드리-모저-트루딩어 부등식에 대한 새로운이고 더 단순한 접근법을 제공한다.
• 지수 상수 $4\pi$ 가 등각 변환 하에서도 유지되며, 모든 유계이고 볼록한 도메인에서 균일하게 성립한다.
• 개선된 하드리 부등식 $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 dx dy - \frac{1}{4} \int_{\Omega} \frac{u^2}{d(z,\partial\Omega)^2} dx dy \geq C_6 \int_{\Omega} u^2 dx dy$ 는 $L^2$-노름 제어 및 추정의 완성에 사용된다.
• 최종적으로 $\int_{\Omega} e^{4\pi u^2} dx dy$ 의 상한이 $\Omega$ 에만 의존하는 상수에 의해 유한하고 균일하게 유계임을, 변환된 도메인과 하이퍼볼릭 가중치를 포함하는 부등식의 사슬을 통해 보여준다.