[논문 리뷰] A sharp Trudinger-Moser type inequality involving $L^{n}$ norm in the entire space $\mathbb{R}^{n}$

Guozhen Lu, Maochun Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소볼레프 공간 $W^{1,n}(/mathbb{R}^n)$ 내의 함수의 $L^n$ 노름을 포함하는 전체 공간 $\mathbb{R}^n$ 상에서 날카로운 트루딩어-모저 유형 부등식을 수립한다. 이는 상한이 유한한 경우와 오직 $\alpha < 1$일 때에만 성립하며, 충분히 작은 $\alpha > 0$일 때 상한이 도달된다는 것을 증명한다. 증명은 기능에 관련된 오일러-라그랑주 방정식의 붕괴 분석에 기반한다.

ABSTRACT

Let $W^{1,n} ( \mathbb{R}^{n} $ be the standard Sobolev space and $\left\Vert \cdot ight\Vert _{n}$ be the $L^{n}$ norm on $\mathbb{R}^n$. We establish a sharp form of the following Trudinger-Moser inequality involving the $L^{n}$ norm \[ \underset{\left\Vert u ight\Vert _{W^{1,n}\left(\mathbb{R} ^{n} ight) }=1}{\sup}\int_{ \mathbb{R}^{n}}Φ\left( α_{n}\left\vert u ight\vert ^{\frac{n}{n-1}}\left( 1+α\left\Vert u ight\Vert _{n}^{n} ight) ^{\frac{1}{n-1}} ight) dx0$ is sufficiently small. The proof is based on the method of blow-up analysis of the nonlinear Euler-Lagrange equations of the Trudinger-Moser functionals. Our result sharpens the recent work \cite{J. M. do1} in which they show that the above inequality holds in a weaker form when $Φ(t)$ is replaced by a strictly smaller $Φ^*(t)=e^{t}-\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum}}% \frac{t^{j}}{j!}$. (Note that $Φ(t)=Φ^*(t)+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$).

연구 동기 및 목표

• 무한 도메인 $\mathbb{R}^n$ 상에서 함수의 $L^n$ 노름을 포함하는 날카로운 트루딩어-모저 유형 부등식을 수립하는 것.
• 소볼레프 노름 $W^{1,n}$과 $L^n$ 노름을 모두 포함하는 트루딩어-모저 기능의 상한의 유한성에 대한 정확한 임계값을 결정하는 것.
• 충분히 작은 $\alpha > 0$일 때 기능의 최대화자가 존재함을 증명하는 것.
• 기존에 알려진 부등식을 개선하기 위해 잘라낸 함수 $\Phi^*(t)$ 대신 전체 함수 $\Phi(t) = e^t - \sum_{j=0}^{n-2} \frac{t^j}{j!}$를 사용하는 것.

제안 방법

• 저자들은 트루딩어-모저 기능을 최대화하는 수열의 집중-콤���크션 행동을 연구하기 위해 붕괴 분석을 사용한다.
• 기능과 관련된 오일러-라그랑주 방정식을 분석하여 붕괴 프로파일을 식별하고 점근적 추정을 도출한다.
• 특정 점에서 집중하는 특성 함수 $u_\varepsilon$를 캐리어와 스케일링을 이용해 구성하여 붕괴 행동을 모델링한다.
• 기능의 정밀한 점근적 전개를 $\varepsilon$, $R = \log(1/\varepsilon)$ 및 극한 프로파일의 $L^n$ 노름에 따라 사용한다.
• 기능을 작은 구 $B_{R\varepsilon}$ 내부와 그 보조 영역으로 나누어 집중 기여와 尾행동 기여를 추정한다.
• 기존의 최적 함수와의 비교를 통해 $\alpha \geq 1$일 때 상한이 발산함을 보여 상한의 날카로움을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수의 $\|u\|_{W^{1,n}}$와 $\|u\|_n$ 노름을 모두 포함하는 트루딩어-모저 기능이 $\mathbb{R}^n$ 상에서 유한하게 유지되기 위한 최적 상수 $\alpha$는 무엇인가?
• RQ2 어떤 값의 $\alpha$에 대해 기능의 상한이 유한하고, 어떤 값에 대해 무한한가?
• RQ3 충분히 작은 $\alpha > 0$일 때, $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 내에서 기능의 상한이 최대화자를 도달하는가?
• RQ4 무한 도메인에서 $L^n$ 노름의 포함은 트루딩어-모저 부등식의 최적 상수와 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 트루딩어-모저 기능의 상한은 오직 $\alpha < 1$일 때에만 유한하며, 최적 상수는 $\alpha_n = n\omega_{n-1}^{1/(n-1)}$이다.
• $\alpha \geq 1$일 때 상한은 무한하므로 임계값의 날카로움이 입증된다.
• 충분히 작은 $\alpha > 0$일 때 상한은 $W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$ 내의 어떤 함수에 의해 도달되며, 최대화자의 존재가 증명된다.
• 기존에 알려진 부등식보다 기능이 엄밀히 크며, $\Phi(t) = \Phi^*(t) + \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}$ 이므로 엄밀한 개선이 이루어졌다.
• 붕괴 분석은 극한 함수가 한 점에 집중함을 확인하고, 점근적 행동이 극한 프로파일의 $L^n$ 노름에 의해 제어됨을 보여준다.
• 증명은 $\alpha \geq 1$일 때 기능이 발산함을 보이며, 이는 고전적 트루딩어-모저 부등식이 무한 도메인에서 실패함에도 불구하고 성립함을 시사한다.