[논문 리뷰] A short course on positive solutions of systems of ODEs via fixed point index

Gennaro Infante|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 20.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다양한 경계 조건을 갖는 상미분방정식(ODE) 및 관련 편미분방정식(PDE) 시스템에 대한 양의 해의 존재, 다중성, 비존재성을 확립하기 위해 고정점 지수 이론을 체계적으로 적용한다. Krasnosel’skiï의 고정점 정리와 지수 이론을 경계값 문제로부터 유도된 해머슈타인 적분방정식에 적용함으로써, 고리형 및 외부 영역에서의 반경 방향 해석의 분석이 가능해지며, 변환된 ODE 시스템을 통해 다룰 수 있다.

ABSTRACT

We shall firstly study the existence of one positive solution of a model problem for one equation via the classical Krasnosel'ski\uı fixed-point theorem. Secondly we investigate how to handle this problem via the fixed point index theory for compact maps. Thirdly we illustrate how this approach can be tailored in order to deal with non-trivial solutions for systems of ODEs subject to local BCs. The case of nonlocal and nonlinear BCs will also be investigated. Finally we present some applications to the existence of radial solutions of some systems of elliptic PDEs.

연구 동기 및 목표

• 비음수 해를 갖는 ODE 시스템에 위상적 방법, 특히 고정점 지수 이론을 적용하기 위한 교육적 프레임워크를 제공하는 것.
• 국소 및 비국소 경계 조건 하에서 고전적 Krasnosel’skiï의 정리를 ODE 시스템으로 확장하는 것.
• 반경 방향 PDE 문제를 변수 변환과 그린 함수 구성에 의해 ODE 시스템으로 환원하는 방법을 보여주는 것.
• 지수 이론과 콘 압축-팽창 논증을 이용하여 양의 해가 존재하거나 다중으로 존재하거나 존재하지 않는 조건을 설정하는 것.
• 국소 및 비선형 경계 조건, 특히 3점 문제와 비슷한 문제들에 적용 가능한 통합된 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 선형 ODE의 기본 해로부터 유도된 그린 함수를 사용하여 원래의 BVP를 등가의 해머슈타인 적분방정식으로 변환하는 것.
• 바나흐 공간 내에서 음이 아닌 연속 함수의 콘을 정의하여 해의 양성 유지.
• 콘의 압축 및 팽창을 통한 Krasnosel’skiï의 고정점 정리를 적용하여 최소한 하나의 양의 해 존재를 증명하는 것.
• 컴act 매핑에 대한 고정점 지수 이론을 사용하여 비선형성의 성장 조건에 기반한 다중성 및 비존재 결과를 도출하는 것.
• 고정점 정리에 필요한 콘 조건을 확인하기 위해 그린 함수의 명시적 하한 및 상한을 구성하는 것.
• 변수 치환 r(t) = R₁t^(1/(2−n))을 통해 외부 또는 고리형 영역에서의 반경 PDE 문제를 ODE 시스템으로 변환하여 ODE 기법의 적용을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디리클레 조건 또는 3점 경계 조건을 갖는 ODE 시스템이 최소한 하나의 양의 해를 갖는 조건는 무엇인가?
• RQ2 고정점 지수 이론을 어떻게 활용하여 ODE 시스템에서의 양의 해의 다중성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 비선형성과 그린 함수에 어떤 조건이 성립하면 양의 해가 존재하지 않는가?
• RQ4 고리형 또는 외부 영역에서의 타원형 PDE 시스템의 반경 해는 어떻게 비국소 경계 조건을 갖는 ODE 시스템으로 환원될 수 있는가?
• RQ5 비선형성의 성장에 대해 어떤 충분한 조건이 비유한 영역에서 양의 반경 해 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 비선형성 f가 특정한 초선형 또는 초선형 성장 조건을 만족할 경우, 디리클레 조건을 갖는 모델 ODE에 양의 해가 존재함을 Krasnosel’skiï의 정리로 보여진다.
• 고정점 지수 이론을 통해 비선형성의 콘 내에서 다양한 고리 영역에서의 지수를 분석함으로써 다중성 결과를 도출할 수 있다.
• 비선형성이 너무 느리거나 너무 빠르게 성장할 경우, 특정 집합에서의 지수 값에 기반하여 양의 해가 존재하지 않음을 증명할 수 있다.
• 3점 경계 조건을 갖는 시스템의 경우, 그린 함수가 Φ₁(s)와 c₁를 포함한 적절한 하한 및 상한 조건을 만족할 경우 양의 해가 존재함을 보장할 수 있다.
• 외부 영역에서는 비선형성 f와 가중 함수 h_i가 h_i(r) ≤ 1/r^{n+μ_i} (r→∞ 일 때)와 같은 감쇠 조건을 만족할 경우 반경 해가 존재한다.
• β ≤ 1 인 경우, 상수 c₁ = min{(1−η)/(1−βη), βη}를 커널을 유계화하기 위해 사용하며, 1 < β < 1/η 인 경우 c₁ = η로 설정하여 연산자의 양성과 컴팩트성을 확보한다.