[논문 리뷰] A Short Note on Gaps between Powers of Consecutive Primes

David Lowry-Duda|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 α + β < 1 인 모든 음이 아닌 α, β에 대해 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 하한극한이 0임을 증명한다. 이는 최근의 유계 소수 간격 진전(예: Polymath8의 최대 246 간격을 가진 쌍에 대한 결과)을 활용한다. 이 결과는 Sándor의 이전 작업을 강화하며 Andrica의 추측 및 관련 추측들에 대한 새로운 근거를 제공한다.

ABSTRACT

Let $α, β\geq 0$ and $α+ β&lt; 1$. In this short note, we show that $\liminf_{n o \infty} p_n^β(p_{n+1}^α- p_n^α) = 0$, where $p_n$ is the $n$th prime. This notes an improvement over results of Sándor and gives additional evidence towards a conjecture of Andrica. This follows directly from recent results on prime pairs from Maynard, Tao, Zhang.

연구 동기 및 목표

• 연속된 소수의 거듭제곱 간 차이의 성장에 대한 새로운 경계를 확립하기.
• Sándor의 제곱근 간격에 대한 결과를 더 넓은 범위의 지수 α와 β로 확장하기.
• Andrica의 추측과 그 일반화에 대한 지원 근거를 제공하기.
• 유계 소수 간격을 가정할 때 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 행동을 탐색하기.
• 이러한 표현의 균일 유계성에 대한 더 강력한 추측을 제안하기.

제안 방법

• 함수 x ↦ x^α에 평균값 정리를 구간 [p, p+246]에 적용하여 소수 p에 대해 적용하기.
• Polymath8 결과를 활용하여 최대 246 간격을 가진 소수 쌍이 무한히 많음을 이용하기.
• q ∈ [p, p+246]에 대해 도함수 αq^{α−1}를 사용하여 (p+246)^α − p^α의 차이를 유계하기.
• 결과적으로 얻어진 표현 p^β × 246αq^{α−1} ≤ 246αp^{α+β−1}를 추정하여 p → ∞ 일 때 감쇠함을 보이기.
• α + β − 1 < 0 이므로 하한극한이 0임을 결론 내리기.
• Cramér의 추측과 비교하여 간격을 (log p)^2 유계로 추정함으로써 더 강력한 추측을 뒷받침하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α, β ≥ 0 이고 α + β < 1 인 모든 경우에 대해 표현 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 하한극한이 0으로 수렴하는가?
• RQ2 동일한 지수 제약 조건 하에서 이 결과를 균일 유계 표현으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 감쇠 속도는 소수 간격의 크기와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 결과는 Andrica의 추측과 그 일반화에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 일반화된 식 pₙ₊₁^α − pₙ^α = C 에서 C에 대한 함수로서 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 행동은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• α, β ≥ 0 이고 α + β < 1 인 모든 경우에 대해 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)의 하한극한은 정확히 0이다.
• 이 결과는 Sándor의 1985년 정리(α = 1/2, β = 1/4에 해당)를 일반화한다.
• 증명은 Polymath8 프로젝트에서 입증한, 최대 246 간격을 가진 소수 쌍이 무한히 존재한다는 사실에 의존한다.
• 표현의 감쇠는 246αp^{α+β−1}라는 유계를 통해 보여지며, 이는 p → ∞ 일 때 0으로 수렴한다.
• 히우리스틱 추론에 따르면, Conjecture 2 — pₙ₊₁^α − pₙ^α가 균일 유계이다 — 는 Cramér의 추측 하에 성립할 가능성이 높다.
• 더 강력한 추측을 제안한다: α, β ≥ 0 이고 α + β < 1 인 모든 경우에 대해 표현 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α)는 상수 C(α, β)에 의해 균일 유계이다.