[논문 리뷰] A short proof on the rate of convergence of the empirical measure for the Wasserstein distance

Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 진술된 밀도가 유계인 경우, d차원 평탄한 토러스 위에서 경험 측도와 진짜 측도 사이의 기대 워셔스타인 거리가 $ n^{-1/d} $ 속도로 수렴함을 간결하게 증명한다. 접근 방식은 워셔스타인 거리와 음의 소볼레프 노름 사이의 연결을 활용하며, 푸리에 분석과 커널 스무딩을 결합하여, 차원 2에서 로그 인자까지 최소한의 상한을 갖는 최적의 수렴 속도를 확립한다.

ABSTRACT

We provide a short proof that the Wasserstein distance between the empirical measure of a n-sample and the estimated measure is of order n^-(1/d), if the measure has a lower and upper bounded density on the d-dimensional flat torus.

연구 동기 및 목표

• 밀도가 유계라는 가정 하에 경험 측도가 진짜 측도로 수렴하는 워셔스타인 거리의 최적 수렴 속도를 간결하고 엄밀하게 증명하는 것.
• 경계 효과를 피하기 위해 볼록 영역 대신 d차원 평탄한 토러스로 영역을 제한하는 것.
• 푸리에 분석과 최적 운반 이론의 도구를 사용하여 $ n^{-1/d} $ 수렴 속도가 최소한의 상한까지 최적임을 보여주는 것 (특히 차원 2에서 로그 인자까지).
• 최적 운반 이론에서 유도된 핵심 부등식을 통해 워셔스타인 거리와 음의 소볼레프 노름을 연결하여 기존 접근 방식을 통합하고 단순화하는 것.

제안 방법

• 워셔스타인 거리와 밀도 차이의 음의 소볼레프 노름을 연결하는 부등식 $ W_p(\mu, \nu) \leq p f_{\min}^{1/p - 1} \|f - g\|_{\dot{H}_p^{-1}} $ 의 사용.
• 경험 측도를 정규화하기 위해 커널 스무딩을 적용하며, $ \mu_{n,h} $ 는 매끄러운 커널 $ K_h $ 와의 컨볼루션을 통해 정의된 스무딩된 경험 측도를 나타낸다.
• 커널 컨볼루션을 통한 질량 이동 비용을 이용해 $ \mu_n $ 와 $ \mu_{n,h} $ 사이의 워셔스타인 거리를 $ C_0 h $ 로 상한 설정.
• 푸리에 승수를 통해 음의 소볼레프 노름을 표현하며, 특히 $ |\xi| \geq 1 $ 에서 $ a(\xi) = 1/|\xi| $ 를 만족하는 연산자 $ \mathcal{A} $ 를 정의.
• 미클린 승수 정리(Mikhlin multiplier theorem)를 적용하여 $ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ 의 $ L_p $-노름을 제어하고, 연관된 연산자의 유계성을 확보.
• 로젠탈의 부등식(Rosenthal's inequality)을 사용하여 i.i.d. 중심화된 랜덤 함수 $ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ 의 $ L_p $-노름을 제어하며, 오차를 편향과 변동성 항으로 분해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 유계라는 조건 하에 경험 측도가 진짜 측도로 수렴하는 워셔스타인 거리의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 푸리에 분석과 음의 소볼레프 노름을 사용하여 $ n^{-1/d} $ 수렴 속도를 간결하게 증명할 수 있는가?
• RQ3 수렴 속도는 차원 $ d $ 에 따라 어떻게 달라지며, 특히 저차원($ d=1,2 $)에서 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 평탄한 토러스 위에서 밀도가 유계인 측도의 클래스에 대해 $ n^{-1/d} $ 수렴 속도가 최소한의 상한까지 최적인가?

주요 결과

• d \geq 3 인 경우, 경험 측도 $ \mu_n $ 와 진짜 측도 $ \mu $ 사이의 기대 $ W_p $-거리가 $ C n^{-1/d} $ 로 상한 설정되며, 이는 상수를 제외하고 최소한의 상한과 일치한다.
• d = 2 인 경우, 수렴 속도는 $ (\log n)^{1/2} n^{-1/2} $ 로, 로그 인자까지 최소한의 상한과 일치한다.
• d = 1 인 경우, 수렴 속도는 $ n^{-1/2} $ 로, 기존에 알려진 최소한의 상한 최적 속도와 일致한다.
• 이 증명은 $ d \geq 3 $ 에서 $ n^{-1/d} $ 수렴 속도가 최적임을 보이며, 차원 2에서는 로그 인자까지 최적임을 입증한다.
• 이 방법은 이중 분할(dyadic partitioning)을 피하고, 음의 소볼레프 노름을 통한 푸리에 분석적 접근을 사용하여 분석을 단순화한다.
• 동일한 프레임워크는 $ s $-홀더 연속 밀도를 가진 경우로 확장 가능하며, 이 경우 수렴 속도는 $ n^{-(s+1)/(2s + d)} $ 로 향상되며, 이는 기존의 최소한의 상한 결과와 일치한다.