[논문 리뷰] A Simple and Correct Even-Odd Algorithm for the Point-in-Polygon Problem for Complex Polygons

Michael Galetzka, Patrick Glauner|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 15.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자기교차하는 변과 구멍이 있는 복잡한 다각형에 대해 간단하고 정확하며 O(n) 시간 복잡도를 가지는 짝수-홀수 알고리즘을 제시한다. x축 상의 정점들을 안전하게 처리하기 위해 보조 변을 사용하고, 필요에 따라 射선을 전체 x축으로 연장함으로써 특수 케이스 실패를 방지하고 모든 입력에 대해 정확한 짝수-홀수 교차 수를 보장한다.

ABSTRACT

Determining if a point is in a polygon or not is used by a lot of applications in computer graphics, computer games and geoinformatics. Implementing this check is error-prone since there are many special cases to be considered. This holds true in particular for complex polygons whose edges intersect each other creating holes. In this paper we present a simple even-odd algorithm to solve this problem for complex polygons in linear time and prove its correctness for all possible points and polygons. We furthermore provide examples and implementation notes for this algorithm.

연구 동기 및 목표

• 자기교차하는 변과 구멍이 있는 복잡한 다각형에 대해 점-다각형 검사를 구현할 때 발생하는 높은 오류율을 해결하기 위해.
• 기존 알고리즘에서 흔히 고장나는 정점이나 변 위의 점에 대한 특수 케이스 처리를 제거하기 위해.
• 모든 가능한 다각형 구성, 특히 복잡한 경우에도 적용 가능한 증명 가능한 정확한 짝수-홀수 알고리즘을 제공하기 위해.
• 간단성과 정확성을 유지하면서도 선형 시간 복잡도 O(n)을 확보하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 점 Q에서 양의 x축 방향으로 射선을 射출하고 변의 교차 수를 세는 방식이다.
• x축 상에 위치한 정점은 건너뛰고, x축을 가로질러 비공선인 정점들 사이에 보조 변을 생성한다.
• 양의 x축 상의 정점을 건너뛸 경우, 교차 수를 정확히 유지하기 위해 射선을 전체 x축으로 연장한다.
• 정점과의 점 일치 또는 변 포함 여부를 먼저 확인하고, 참이면 즉시 '내부'를 반환한다.
• 교차 검출은 보다 견고한 기하 함수를 사용하여 보조 변이 x축을 가로질러가는지 여부를 판단한다.
• 최종 결정은 총 교차 수가 홀수이면 '내부', 짝수이면 '외부'로 내림재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자신의 특수 케이스 처리 없이도 모든 변두리 케이스를 정확히 다룰 수 있는 단순한 짝수-홀수 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 사용자 정의 射선(예: x축) 상에 위치한 정점을 안전하게 처리하여 교차 수 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ3 자기교차 다각형 포함 모든 다각형 유형에 대해 정확성을 확보하면서도 O(n) 시간 복잡도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 원본 다각형 변을 대체로 사용할 수 있는 보조 변을 교차 수 계산에 사용할 수 있는가, 이로 인해 오류가 발생하지 않는가?

주요 결과

• 알고리즘은 자기교차와 구멍이 있는 다각형을 포함한 모든 가능한 점과 복잡한 다각형에 대해 증명된 바에 따라 정확하다.
• x축 상의 정점을 건너뛸 경우 보조 변을 사용함으로써 원래 변이 양의 x축을 가로지르지 않더라도 정확한 교차 수 계산이 보장된다.
• 양의 x축 상의 정점을 건너뛸 경우 射선을 전체 x축으로 연장함으로써 필요한 교차를 정확히 포착할 수 있으며, 이는 10개의 서로 다른 기하 구성을 통해 검증되었다.
• 알고리즘이 설계 단계에서 특수 케이스 검사를 피함으로써 기존 구현에서 흔히 발생하는 고장을 제거한다.
• 각 정점가 정확히 한 번씩 방문되므로 시간 복잡도는 O(n)이다.
• 오픈소스 구현을 통해 알고리즘의 정확성과 실세계 적용 가능성 확인되었다.