[논문 리뷰] A simple and efficient BEM implementation of quasistatic linear visco-elasticity

Christos G. Panagiotopoulos, V. Mantič외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 26.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 음성 시간 이산화(Rothe 방법)와 대수적 변수 변환을 사용하여, 비정적 선형 점탄성 문제를 위한 단순하고 안정적이며 효율적인 경계요소법(BEM) 수식을 제시한다. 이 방법은 역 라플라스 변환을 피하고, 단지 켈빈 탄성정적 기본해를 사용하여 해를 구할 수 있으며, 켈빈-보이트, 맥스웰, 볼츠만, 지프레스, 버거스 모델을 포함한 다수의 류울로지 모델을 최소한의 코드 수정으로 지원한다.

ABSTRACT

A simple, yet efficient procedure to solve quasistatic problems of special linear visco-elastic solids at small strains with equal rheological response in all tensorial components, utilizing boundary element method (BEM), is introduced. This procedure is based on the implicit discretisation in time (the so-called Rothe method) combined with a simple "algebraic" transformation of variables, leading to a numerically stable procedure (proved explicitly by discrete energy estimates), which can be easily implemented in a BEM code to solve initial-boundary value visco-elastic problems by using the Kelvin elastostatic fundamental solution only. It is worth mentioning that no inverse Laplace transform is required here. The formulation is straightforward for both 2D and 3D problems involving unilateral frictionless contact. Although the focus is to the simplest Kelvin-Voigt rheology, a generalization to Maxwell, Boltzmann, Jeffreys, and Burgers rheologies is proposed, discussed, and implemented in the BEM code too. A few 2D and 3D initial-boundary value problems, one of them with unilateral frictionless contact, are solved numerically.

연구 동기 및 목표

• 비정적 선형 점탄성 문제를 위한 계산적으로 효율적이고 수치적으로 안정적인 BEM 수식을 개발하기 위해.
• BEM 기반 점탄성 해석에서 시간에 따라 변하는 기본해나 역 라플라스 변환의 필요성을 제거하기 위해.
• 간단한 대수적 변수 변환을 통해 기존 탄성정적 BEM 코드에 쉽게 구현할 수 있도록 하기 위해.
• 점탄성 물체를 포함한 단일면 마찰 없는 접촉 문제로 수식을 확장하기 위해.
• 맥스웰, 지프레스, 버거스 모델를 포함한 여러 표준 점탄성 류울로지 모델로 방법을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 지배 점탄성 PDE에 Rothe 방법(암시적 오일러 시간 이산화)을 적용하여 시간에 따라 변하는 문제를 연속적인 준정적 문제의 시퀀스로 변환한다.
• 각 시간 단계에서 대수적 변수 변환을 도입하여 점탄성 문제를 선형 탄성정적 경계값 문제로 변환한다.
• 결과로 얻어진 탄성정적 문제를 표준 켈빈 기본해를 사용하여 풀며, 도메인 적분과 복잡한 시간에 따라 변하는 커널을 피한다.
• 각 시간 단계에서 보조 필드 해를 바탕으로 명시적 대수적 복원을 통해 실제 변위, 응력, 변형률을 재구성한다.
• 경계 이산화를 위해 콜로케이션 BEM을 사용하여 도메인 변수가 필요 없도록 하며, 계산 효율성을 높인다.
• 에너지 제약 조건과 접촉 조건을 경계 적분 표현에 통합하여 수식을 단일면 접촉 문제로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역 라플라스 변환이나 시간에 따라 변하는 기본해가 필요 없이, 비정적 선형 점탄성 문제를 위한 안정적이고 효율적인 BEM 수식을 개발할 수 있는가?
• RQ2 시간 이산화와 변수 변환를 통해 단지 탄성정적 기본해만을 사용하여 켈빈-보이트 점탄성 모델을 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 맥스웰, 볼츠만, 지프레스, 버거스 류울로지 모델과 같은 다른 표준 점탄성 모델로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ4 단일면 마찰 없는 접촉 조건이 BEM 수식의 수치적 행동과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 정확성과 안정성을 유지하면서도 기존 탄성정적 BEM 코드에 최소한의 수정으로 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 이론적 에너지 추정을 통한 이산 에너지 분석을 통해 수치적 안정성을 확보하여 장시간 시뮬레이션에서도 견고함을 입증하였다.
• 켈빈-보이트, 맥스웰, 볼츠만, 지프레스, 버거스 류울로지 모델을 포함한 2차원 및 3차원 초기경계값 문제를 단지 켈빈 탄성정적 기본해만을 사용하여 성공적으로 해결하였다.
• 암시적 오일러 이산화와 변수 변환을 통해 도메인 통합이나 복잡한 변환 없이도 재귀적이고 효율적인 해법 과정을 실현하였다.
• 점탄성 접촉 문제에 대한 수치 결과는 점탄성 계수가 증가할수록 접촉 영역 길이와 최대 법선 응력이 감소하고, 하중 제거 시 점탄성력이 유한한 피크를 보임을 보여주었다.
• 탄성 결과력은 점탄성 계수가 증가할수록 감소하며, 점탄성력 성분은 하중 제거 시점에서 점프와 피크를 보이며 에너지 소산과 지연 회복을 나타낸다.
• 기존 BEM 코드에 보조 필드를 도입함으로써 간단한 코드 수정만으로도 이 방법을 쉽게 구현할 수 있으며, 점탄성 해석에 적합하다.