[논문 리뷰] A simple anisotropic three-dimensional quantum spin liquid with fracton topological order

Olga Petrova, Nicolas Regnault|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 28.

Theoretical and Computational Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 입자형 비틀림을 가진 3차원 양자 스핀 모델을 제안하며, 이는 입자형 비틀림을 가진 위상적 순서를 실현한다. 이 모델은 정지한 점형 비틀림(프랙톤)과 1차원 또는 2차원 부분공간에서 이동 가능한 복합 이동 비틀림을 특징으로 한다. 이 모델은 3차원 토러스에서 지수적으로 증가하지 않는 기본 상태 디지너레이션 $2^{2L_z}$ 를 보이며, $ hat{x}$ 및 $ hat{y}$ 방향에 수직인 표면에서만 영에너지 표면 모드를 보인다. 이는 층상 토리크 코드 구성과 다릅니다.

ABSTRACT

We present a three-dimensional cubic lattice spin model, anisotropic in the $\hat{z}$ direction, that exhibits fracton topological order. The latter is a novel type of topological order characterized by the presence of immobile pointlike excitations, named fractons, residing at the corners of an operator with two-dimensional support. As other recent fracton models, ours exhibits a subextensive ground state degeneracy: On an $L_x imes L_y imes L_z$ three-torus, it has a $2^{2L_z}$ topological degeneracy, and an additional non-topological degeneracy equal to $2^{L_xL_y-2}$. The fractons can be combined into composite excitations that move either in a straight line along the $\hat{z}$ direction, or freely in the $xy$ plane at a given height $z$. While our model draws inspiration from the toric code, we demonstrate that it cannot be adiabatically connected to a layered toric code construction. Additionally, we investigate the effects of imposing open boundary conditions on our system. We find zero energy modes on the surfaces perpendicular to either the $\hat{x}$ or $\hat{y}$ directions, and their absence on the surfaces normal to $\hat{z}$. This result can be explained using the properties of the two kinds of composite two-fracton mobile excitations.

연구 동기 및 목표

• 이동 불가능한 점형 비틀림을 가진 단순한 3차원 양자 스핀 모델을 구성하여 프랙톤 위상적 순서를 실현하는 것.
• 이sovotropic 결합이 있는 3차원 격자에서 시스템 크기와 경계 조건에 따른 기본 상태 디지너레이션의 의존성에 대해 연구하는 것.
• 표면의 영에너지 모드의 성질과 프랙톤으로부터 형성된 복합 이동 비틀림과의 관계를 이해하는 것.
• 모델이 2차원 토리크 코드에서 영감을 얻었음에도 불구하고, 층상 토리크 코드와는 애드아바틱하게 연결될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 경계 조건이 모델의 스펙트럼과 디지너레이션 구조에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 모델은 입자형 비틀림을 가진 3차원 격자에서 인접한 $xy$-평면에 있는 2차원 토리크 코드 해밀토니언을 $ hat{z}$ 방향의 비대칭 결합으로 연결하여 구성된다.
• 해밀토니언은 인접한 $xy$-평면의 인접한 플라켓 연산자의 곱으로 정의된 큐브 연산자 $\hat{Q}_c$ 를 포함하며, 기본 상태에서 $\hat{Q}_c = +1$ 이 되도록 한다.
• 비틀림은 $\hat{Q}_c = +1$ 조건 위반으로 생성되며, 이는 2차원 연산자의 모서리에 정지한 프랙톤을 유도한다.
• 복합 비틀림은 프랙톤을 쌍으로 묶어 형성되며, 이는 $ hat{z}$ 방향으로나 고정된 $z$ 에서 $xy$ 평면에서 자유롭게 이동할 수 있다.
• 기본 상태 디지너레이션은 독립적인 제약 조건과 스핀 자유도의 수에 기반하며, 위상적 기여와 비위상적 기여를 구분한다.
• 다른 방향으로 개방된 경계 조건을 적용하여 디지너레이션과 표면 모드에 미치는 영향을 분석하고, 현지에서 영에너지 비틀림을 생성하기 위해 스트링 연산자를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불가능한 점형 비틀림을 가진 단순한 3D 스핀 모델을 구성할 수 있는가? 이는 층상 토리크 코드와는 애드아바틱하게 연결되지 않는다.
• RQ2 개방 경계 조건이 존재할 때 영에너지 표면 모드의 성질과 기원은 무엇인가?
• RQ3 3D 프랙톤 시스템에서 기본 상태 디지너레이션은 시스템 크기와 경계 조건에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 복합 비틀림이 anyonic 준입자들의 이동성과 국소화를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 모델에서 하위지수적 위상적 디지너레이션은 어떻게 발생하며, $L_z$ 방향에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• $L_x \times L_y \times L_z$ 3차원 토러스에서 이 모델은 $2^{2L_z}$ 의 위상적 기본 상태 디지너레이션을 보이며, 이는 $ hat{z}$ 방향 제약 조건에서 기인한다.
• 추가로 $xy$-평면 자유도에 기반한 비위상적 디지너레이션 $2^{L_x L_y - 2}$ 가 존재하며, 이는 $L_z$ 와 무관하다.
• 개방 경계 조건이 $ hat{z}$ 방향에 적용되면, 위상적 디지너레이션은 여전히 $2^{2L_z}$ 를 유지하지만, 큐브 제약 조건의 수는 $L_x L_y (L_z - 1)$ 로 감소한다.
• 영에너지 표면 모드는 $ hat{x}$ 와 $ hat{y}$ 에 수직인 표면에서만 나타나며, $ hat{x}$ 에서 개방 경계 조건이 적용되면 디지너레이션은 $2^{L_y L_z}$ 가 된다. 이는 표면에서 작용하는 국소 스트링 연산자 때문이다.
• 반대로 $ hat{z}$ 에 수직인 표면에서는 이러한 표면 모드가 나타나지 않으며, 이는 $ hat{Q}_c = -1$ 결함을 부수적인 제약 조건을 위반하지 않고 국소적으로 생성할 수 없기 때문이다.
• 이 모델은 프랙톤 비틀림과 그 복합 이동 패tern이 층상 토리크 코드와 근본적으로 다름으로써, 층상 토리크 코드와는 애드아바틱하게 연결될 수 없다.