[논문 리뷰] A simple model of a limit order book

Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 31.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시장 상태에 독립적인 주문 도착을 가정하는 단순화된 마르코프 모델을 제안한다. 이로 인해 단서 전이가 발생하며, 임계 가격 $\kappa_b$ 이하의 입찰은 유한한 수만이 체결되고, $\kappa_a$ 이상의 매도는 마찬가지로 유한한 수만이 체결된다. 이에 따라 구간 $(\kappa_b, \kappa_a)$ 는 양측에서 무한한 공백 주기를 경험한다. 모델은 균일한 도착 분포 하에서 $\kappa_b$ 및 $\kappa_a$ 의 명시적 표현을 유도하며, 정상 상태 분석이 가능한 양의 재귀성을 추측한다. 이는 최고 입찰가와 최저 매도가의 정상 상태 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We formulate a simplified model of a limit order book, in which the arrival process is independent of the current state. We prove a phase transition result: there exist prices $κ_b$ and $κ_a$ such that, for any $ε> 0$, only finitely many bid (ask) departures occur at prices below $κ_b-ε$ (above $κ_a+ε$), while the interval $(κ_b+ε, κ_a - ε)$ infinitely often contains no bids, and infinitely often contains no asks. We derive expressions for $κ_b$ and $κ_a$, which we solve in the case of uniform arrivals. We conjecture the positive recurrence of a modified model, and find the steady-state distribution of the highest bid and of the lowest ask assuming the positive recurrence.

연구 동기 및 목표

• 거래자 행동에 대한 복잡한 가정을 피하는 간단하고 해석 가능한 마르코프 모델을 개발하는 것.
• 현재 시장 상태에 영향을 받지 않는 독립적인 도착 과정 하에서 입찰 및 매도 가격의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 시장 청산 수준으로부터의 가격 거리에 따라 주문 체결 빈도에서 발생하는 단서 전이를 규명하는 것.
• 균일한 주문 가격 도착 분포의 경우 임계 임계값 $\kappa_b$ 및 $\kappa_a$ 의 명시적 표현을 도출하는 것.
• 수정된 모델의 양의 재귀성을 추측하고 최고 입찰가 및 최저 매도가의 정상 상태 분포를 유도하는 것.

제안 방법

• 현재 책 상태에 영향을 받지 않는 입찰 및 매도 주문의 독립적 도착을 가정하는 연속 시간 마르코프 과정으로 한도주문서를 모델링하는 것.
• 들어오는 주문이 입찰-매도 스프레드를 가로질러야 최고 가용 가격에서 체결되며, 그렇지 않으면 책에 추가되는 방식으로 동역학을 정의하는 것.
• 특히 수정된 모델의 맥락에서 안정성과 재귀성을 분석하기 위해 리아푸노프 함수를 사용하는 것.
• 연속된 책을 근사하기 위해 바이닝 기법을 적용하고, 이산 상태 분석을 통해 $\kappa_b$ 및 $\kappa_a$ 의 경계를 도출하는 것.
• 최고 입찰가와 최저 매도가의 공동 분포를 시각화하기 위해 시스템을 시뮬레이션하고, 한계 밀도가 존재할 것임을 시사하는 것.
• 누적 분포 함수와 적분을 사용하여 균일한 도착 분포 하에서 $\kappa_b$ 및 $\kappa_a$ 의 해석적 표현을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립적인 주문 도착을 가진 한도주문서 모델에서, 임계 가격 범위 근처의 주문만 무한히 자주 체결되는 단서 전이가 발생하는가?
• RQ2 유한한 수의 체결과 무한한 수의 체결을 구분하는 임계 임계값 $\kappa_b$ 및 $\kappa_a$ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 수정된 모델의 양의 재귀성을 입증할 수 있는가? 이는 정상 상태 분포 존재를 보장한다.
• RQ4 양의 재귀성 가정 하에서 최고 입찰가와 최저 매도가의 정상 상태 분포는 무엇인가?
• RQ5 한도주문서의 형태—특히 최고 입찰 및 매도가로부터의 거리에 따른 주문 수—는 시간이 지남에 따라 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 단서 전이가 존재한다: 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\kappa_b - \epsilon$ 이하의 입찰 주문은 유한한 수만이 체결되고, $\kappa_a + \epsilon$ 이상의 매도 주문은 마찬가지로 유한한 수만이 체결된다.
• 임계 임계값은 $\kappa_b = \sup\{x : \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy \leq \int_x^\infty f_a(y)\,dy\}$ 및 $\kappa_a = \inf\{x : \int_x^\infty f_a(y)\,dy \leq \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy\}$ 로 주어진다.
• 균일한 도착의 경우 $\kappa_b = \frac{1}{4}$ 및 $\kappa_a = \frac{3}{4}$ 로 유도되며, 누적 도착률의 균형에서 유래된다.
• 모델는 수정된 버전의 양의 재귀성을 추측하며, 이는 최고 입찰가와 최저 매도가의 한계 공동 분포 존재를 암시한다.
• 시뮬레이션 결과는 최고 입찰가와 최저 매도가의 공동 분포에 대해 한계 표면이 존재할 것임을 시사하지만, 닫힌 형태의 표현식은 도출되지 않았다.
• 최고 입찰가 근처의 입찰 수는 변동성이 있으며, 최고 입찰가가 고밀도 구간에 있을 경우에 갑작스럽게 증가하는 피크가 발생한다. 또한 균일한 도착 하에서는 최고 가격 근처의 입찰 분포는 흐าก하다.