[논문 리뷰] A simple proof of the discrete time geometric Pontryagin maximum principle.

P K Mishal Assif, Debasish Chatterjee외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 29.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 미분 가능 다양체 위의 최적 제어 문제에 대해 이산 시간의 프로트리아긴 최대 원리의 기하학적 증명을 제시한다. 상태, 제어, 주파수 스펙트럼 제약 조건을 포함한다. [Cha11]의 연속 시간 기하학적 접근을 이산 시간으로 확장하여, 다양체 위의 미분기하학적 기법을 통해 필요 최적성 조건을 수립한다.

ABSTRACT

We establish a geometric Pontryagin maximum principle for discrete time optimal control problems on finite dimensional smooth manifolds under the following three types of constraints: a) constraints on the states pointwise in time, b) constraints on the control actions pointwise in time, c) constraints on the frequency spectrum of the optimal control trajectories. Our proof follows, in spirit, the path to establish geometric versions of the Pontryagin maximum principle on smooth manifolds indicated in [Cha11] in the context of continuous-time optimal control.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 프로트리아긴 최대 원리를 이산 시간 최적 제어 문제에 대해 유한차원 미분 가능 다각체로 확장하기.
• 지점별 상태 제약 조건, 지점별 제어 제약 조건, 제어 궤적의 주파수 스펙트럼 제약 조건의 세 가지 유형을 통합하기.
• 연속 시간 결과를 반영하는 이산 시간 설정에서 필요 최적성 조건을 위한 엄밀한 기하학적 프레임워크 제공하기.
• 기존의 이산 시간 최대 원리를 다양체 위의 미분기하학적 구조에 통합함으로써 일반화하기.

제안 방법

• 연속 시간 최적 제어의 기하학적 접근(예: [Cha11])을 미분 가능 다각체 위의 이산 시간 시스템에 적응한다.
• 다양체의 접속다양체 위에서 변분법과 일阶 최적성 조건을 사용하여 필요 조건을 유도한다.
• 접공간 프레임워크 내에서 임베디드 부분다양체와 라그랑주 승수를 통해 제약 조건을 도입한다.
• 이산 수열에 대한 푸리에 분석을 사용해 제어 궤적의 주파수 도메인 모델링을 통해 스펙트럼 제약 조건을 적용한다.
• 코타angent 다원체 위의 해밀토니안 체계를 통해 최대 원리를 도출하여 기하학적 제어 이론과의 일致를 확보한다.
• 최적성 조건을 각 시간 단계에서 허용 가능한 제어에 대해 이산 해밀토니안을 최대화하는 것으로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 프로트리아긴 최대 원리는 어떻게 이산 시간 최적 제어 문제에 대해 미분 가능 다각체 위로 확장될 수 있는가?
• RQ2 지점별 상태 및 제어 제약 조건은 이산 시간에서 필요 최적성 조건에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 제어 궤적의 주파수 스펙트럼 제약 조건은 어떻게 이산 시간 최대 원리에 공식적으로 통합될 수 있는가?
• RQ4 이산 시간 기하학적 최대 원리는 그 구조와 유도 과정에서 연속 시간 대응체와 어느 정도 유사한가?

주요 결과

• 유한차원 미분 가능 다각체 위의 시스템에 대해 완전한 기하학적 이산 시간 프로트리아긴 최대 원리가 수립되었다.
• 필요 최적성 조건은 접다양체와 코타angent 다원체를 포함한 미분기하학적 도구를 사용하여 유도되었다.
• 지점별 상태 및 제어 제약 조건은 임베디드 부분다양체 제약 조건을 통해 통합되었다.
• 제어 궤적의 이산 푸리에 변환에 제약을 가함으로써 주파수 스펙트럼 제약 조건이 공식적으로 통합되었다.
• 결과적으로 도출된 최적성 조건은 각 시간 단계에서 이산 해밀토니안을 최대화하는 것으로, 기하학적 제어 이론과 일치한다.
• 증명 과정은 연속 시간 기하학적 접근의 구조적 일관성을 유지하면서 이산 동역학에 적응되었다.