[논문 리뷰] A single $T$-gate makes distribution learning hard

Marcel Hinsche, Marios Ioannou외 7명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소 양자 회로에 단일 T-게이트를 추가하면, 심지어 양자 알고리즘조차도 그 출력 분포를 학습하기 어려워진다는 것을 보여준다. 어떤 통계적 질의 알고리즘으로도 깊이-$n^{\Omega(1)}$의 양자 회로 학습이 비효율적임을 증명하며, 심지어 초월-로그arithmic 깊이의 클리포드 회로도 표준 생성 모델로는 학습하기 어려운 것으로 나타나, 근접한 하이브리드 양자-클래식 알고리즘의 실용적 이점에 한계를 둔다.

ABSTRACT

The task of learning a probability distribution from samples is ubiquitous across the natural sciences. The output distributions of local quantum circuits form a particularly interesting class of distributions, of key importance both to quantum advantage proposals and a variety of quantum machine learning algorithms. In this work, we provide an extensive characterization of the learnability of the output distributions of local quantum circuits. Our first result yields insight into the relationship between the efficient learnability and the efficient simulatability of these distributions. Specifically, we prove that the density modelling problem associated with Clifford circuits can be efficiently solved, while for depth $d=n^{Ω(1)}$ circuits the injection of a single $T$-gate into the circuit renders this problem hard. This result shows that efficient simulatability does not imply efficient learnability. Our second set of results provides insight into the potential and limitations of quantum generative modelling algorithms. We first show that the generative modelling problem associated with depth $d=n^{Ω(1)}$ local quantum circuits is hard for any learning algorithm, classical or quantum. As a consequence, one cannot use a quantum algorithm to gain a practical advantage for this task. We then show that, for a wide variety of the most practically relevant learning algorithms -- including hybrid-quantum classical algorithms -- even the generative modelling problem associated with depth $d=ω(\log(n))$ Clifford circuits is hard. This result places limitations on the applicability of near-term hybrid quantum-classical generative modelling algorithms.

연구 동기 및 목표

• 국소 양자 회로의 출력 분포 학습 가능성에 대해 엄밀히 분석하며, 특히 양자 기계학습 및 양자 우월성의 맥락에서 고려한다.
• 깊이와 게이트 유형이 다양할 경우, 효율적인 고전적 또는 양자 학습 알고리즘이 양자 회로의 출력 분포를 효율적으로 모델링할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 실제 양자 회로 아키텍처를 위한 하이브리드 양자-클래식 생성 모델링 알고리즘의 한계에 대해 열려 있는 질문을 해결한다.
• 통계적 질의 및 생성 모델링 프레임워크를 포함한 표준 학습 모델 하에서 양자 회로 분포 학습에 대한 이론적 난이도 결과를 수립한다.

제안 방법

• 저자들은 통계적 질의(SQ) 학습 이론을 사용하여, 알려지지 않은 분포에 대한 통계적 질의를 통해 양자 회로 출력 분포를 학습하는 데 필요한 질의 복잡도를 분석한다.
• Clifford 회로로 실현 가능한 $n$ 큐비트 위의 파리티 기반 분포 $P_s$ 의 가족을 구성하고, 그 통계적 질의 복잡도가 $\Omega(2^{n/3})$ 라고 보여준다.
• 레미마 7을 통한 변환을 적용하여 깊이-$d$ 클리포드 회로의 질의 복잡도를 얕은 회로의 것과 연결함으로써, $d = \omega(\log n)$ 인 경우에도 난이도가 유지됨을 보였다.
• 일반 양자 회로에 대해 T-게이트를 추가함으로써 난이도 결과를 확장하여, 깊이-$n^{\Omega(1)}$ 회로에 단일 $T$-게이트를 삽입하면, 통계적 질의만을 사용하는 어떤 알고리즘으로도 분포를 학습할 수 없음을 증명한다.
• 감소 추론 기법을 사용한다: 만약 어떤 학습 알고리즘이 분포를 효율적으로 학습할 수 있다면, 이를 통해 어려운 학습 문제(예: 파리티 함수 학습)를 해결할 수 있으며, 이는 알려진 복잡도 한계와 모순된다.
• 코로나리 15와 레미마 12를 적용하여, 역다항식 허용 오차를 가진 생성 모델로의 난이도를 확장함으로써, $d = \omega(\log^{c+1}(n))$ 깊이의 회로도 학습하기 어려운 것으로 나타냈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 깊이 $n^{\Omega(1)}$ 의 국소 양자 회로의 출력 분포는 어떤 통계적 질의 알고리즘으로도 효율적으로 학습될 수 있는가?
• RQ2 양자 회로에 단일 $T$-게이트가 존재하면, 심지어 양자 알고리즘으로도 그 출력 분포를 학습하기 어려운가?
• RQ3 초월-로그arithmic 깊이의 회로에 대해 하이브리드 양자-클래식 생성 모델은 출력 분포 학습에 효과적인가?
• RQ4 양자 회로의 효율적 시뮬레이션은 그 출력 분포의 효율적 학습 가능성과 동치인가?
• RQ5 표준 학습 모델 하에서 통계적으로 학습할 수 없는 최소 회로 깊이는 얼마인가?

주요 결과

• 깊이 $n^{\Omega(1)}$ 의 $n$ 큐비트 양자 회로의 출력 분포는 통계적 질의만을 사용하는 어떤 알고리즘으로도 효율적으로 학습될 수 없다.
• 통계적 질의 복잡도가 $\Omega(2^{n/3})$ 인 깊이-$d$ 클리포드 회로는 $d = \omega(\log n)$ 일 때, 역다항식 허용 오차를 가진 모든 통계적 질의 알고리즘으로는 학습이 어렵고, 초다항수의 질의가 필요하다.
• 깊이-$n^{\Omega(1)}$ 양자 회로에 단일 $T$-게이트를 삽입하면, 고전적 또는 양자 알고리즘으로도 출력 분포를 학습할 수 없게 된다.
• 깊이-$d$ 클리포드 회로의 통계적 질의 복잡도는 $d = \Omega(n)$ 일 때 $\Omega(2^{n/3})$ 이며, 이는 선형 깊이 회로에 대해 지수적 난이도를 보여준다.
• $\varepsilon, \delta < 1/2$ 인 모든 경우에 대해, 깊이 $d = \omega(\log^{c+1}(n))$ 의 회로 출력 분포를 학습하기 위해서는 허용 오차 $\tau \in \Omega(1/\text{poly}(n))$ 를 가진 $\omega(\text{poly}(n))$ 개의 통계적 질의가 필요하며, 이는 초다항수 질의 복잡도를 증명한다.
• 결과적으로, 양자 회로의 효율적 시뮬레이션은 그 출력 분포의 효율적 학습 가능성을 의미하지는 않으며, 이는 양자 기계학습에서 흔히 가정되는 바를 반박한다.