[논문 리뷰] A SIS reaction-diffusion-advection model in a low-risk and high-risk domain

Jing Ge, Kwang Ik Kim외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 31.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 저위험 및 고위험 영역이 존재하는 비균질 환경에서의 병원균 전파를 연구하기 위해 자유 경계를 갖는 공간적 SIS 반응-확산-유동 모델을 제안한다. 시간에 따라 변화하는 기본 재생수 $ R_0^F(t) $ 를 도입하고, 질병 지속 여부가 초기 조건, 확장 능력, 그리고 유동성에 따라 달라짐을 보여준다. 영역이 고위험일 경우, 질병은 전역 감염에 이르기까지 퍼진다. 영역이 저위험일 경우, 소독 또는 지속적 확산 여부는 초기 감염자 수와 확장 속도에 따라 달라진다.

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

연구 동기 및 목표

• 공간적 이질성과 유동성이 공간적으로 구조화된 환경에서 질병 지속 또는 소거에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 시간에 따라 변화하는 경계 $ g(t) $ 와 $ h(t) $ 를 갖는 자유 경계 문제를 통해 전염병의 확산 전면을 모델링하기 위해.
• 변화하는 영역에서 질병 전파 역학을 반영하는 시간에 따라 변화하는 기본 재생수 $ R_0^F(t) $ 를 정의하고 분석하기 위해.
• 유동성과 확장 능력이 확산 속도와 최종 질병 결과를 결정하는 데 미치는 역할을 조사하기 위해.
• 초기 조건과 모델 파라미터에 기반한 질병 소거 또는 만성 전파를 위한 충분한 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 공간적으로 변화하는 전파율($ \beta(x) $)과 회복율($ \gamma(x) $)을 갖는 SIS 유형 전파에 대한 반응-확산-유동 시스템을 수립한다.
• 질병이 영역 $ (g(t), h(t)) $ 에서 확산되는 자유 경계 문제를 도입하며, $ g(t) $ 와 $ h(t) $ 는 스테파인 유형 조건에 따라 시간에 따라 변화한다.
• 두 가지 핵심 기본 재생수를 정의한다: 딜리클레 경계 조건을 갖는 시스템의 $ R_0^{DA} $ 와 자유 경계 시스템의 $ R_0^F(t) $ 로, 모두 변분 원리에서 유도된다.
• 비교 원리와 점점 가까워지는 분석을 적용하여 해의 장기적 행동과 확산 역학을 연구한다.
• 비선형 시스템을 변화하는 영역에서 풀기 위해 암시적 유한차분법과 뉴턴-라프슨 방법을 사용한 수치 시뮬레이션을 실시한다.
• 점점 가까워지는 추정치를 통해 확산 속도를 분석하며, $ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $ 를 보여주며, 여기서 $ k_r^* $ 는 유동성과 확산 파라미터에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 영역이 저위험일 경우 질병이 확산되거나 소멸하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유동성이 확산 전면의 비대칭성과 좌우 방향의 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 초기 조건과 확장 능력이 주어졌을 때 질병이 만성화되거나 소멸되는 이유는 무엇인가?
• RQ4 시간에 따라 변화하는 기본 재생수 $ R_0^F(t) $ 가 확산와 소멸 사이의 전이를 어떻게 규명하는가?
• RQ5 질병 전면의 점점 가까워지는 확산 속도는 무엇이며, 유동성과 확산 속도에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 만약 어떤 $ t_0 \geq 0 $ 에 대해 $ R_0^F(t_0) \geq 1 $ 이면, 질병은 지속적으로 확산되어 결국 전체 영역이 감염된다.
• 만약 $ R_0^F(0) < 1 $ 이면, 초기 감염자 수가 충분히 작거나 확장 능력 $ \mu $ 가 작을 경우 질병은 소멸된다.
• 확산 영역이 고위험일 경우(즉, 어떤 점에서 $ \beta(x) > \gamma(x) $ 이면), 질병은 전체 영역이 감염될 때까지 퍼진다.
• 확산 속도는 $ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $ 를 만족하며, 여기서 $ k_r^* $ 는 유동성 $ \alpha $, 확산 $ d_I $, 반응 속도에 따라 달라진다.
• 수치 시뮬레이션은 큰 $ \mu $ 가 빠른 확산과 안정적인 양의 평형을 유도하는 반면, 작은 $ \mu $ 는 느린 확장과 질병 감소를 유도함을 확인한다.
• 유동성은 비대칭적 확산을 유도한다: 양의 $ \alpha $ 는 오른쪽 경계를 가속화하고, 음의 $ \alpha $ 는 왼쪽 경계를 가속화하며, 각각 다른 확산 패턴을 형성한다.