[논문 리뷰] A Slow-Growing Sequence Defined by an Unusual Recurrence

Fokko J. van de Bult, Dion Gijswijt외 3명|arXiv (Cornell University)|2006. 02. 22.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 각 항이 이전 수열의 curling 수로 정의되는 재귀적 정수 수열을 소개한다. 여기서 curling 수는 접미사의 최대 반복 횟수로 정의된다. 비록 성장 속도가 매우 느리지만, 이 수열은 유계가 아니며, 더 큰 정수들은 천문학적 크기의 첨자에서만 나타난다. 주요 결과는 정수 $ t $ 가 대략 $ 2^{2^{3^{4^{\.\.\.^{(t-1)}}}}} $의 거듭제곱 탑(높이 $ t-1 $) 위치에서 처음 나타나는 히우리스틱 추정이다.

ABSTRACT

The sequence starts with a(1) = 1; to extend it one writes the sequence so far as XY^k, where X and Y are strings of integers, Y is nonempty and k is as large as possible: then the next term is k. The sequence begins 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, ... A 4 appears for the first time at position 220, but a 5 does not appear until about position 10^{10^{23}}. The main result of the paper is a proof that the sequence is unbounded. We also present results from extensive numerical investigations of the sequence and of certain derived sequences, culminating with a heuristic argument that t (for t=5,6, ...) appears for the first time at about position 2^(2^(3^(4^(5^...^({(t-2)}^{(t-1)}))))), where ^ denotes exponentiation. The final section discusses generalizations.

연구 동기 및 목표

• 문자열 반복 기반의 비전통적 재귀로 정의된 새로운 정수 수열의 연구를 정당화하기 위해.
• 이러한 수열이 유계이거나 결국 임의의 큰 정수를 포함하는지 여부라는 열린 문제를 다루기 위해.
• 매우 느린 성장에도 불구하고 수열이 무한히 커짐을 엄밀히 증명하기 위해.
• 새로운 정수가 수열에서 처음 나타나는 위치에 대한 히우리스틱 추정을 제공하기 위해.
• 다른 함수, 초기 조건, 정수 문자열에 대한 동치 관계를 사용한 재귀의 일반화를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 수열은 재귀적으로 정의된다: $ a(1) = 1 $, 그리고 $ a(n+1) $ 는 접두사 $ a(1), \ldots, a(n) $ 의 curling 수이다. 여기서 curling 수는 수열이 어떤 비어 있지 않은 문자열 $ Y $ 의 $ k $ 번 반복으로 끝나는 최대 $ k $ 를 의미한다.
• 유도된 수열 $ A^{(k)} $ 를 사용하여 수열의 재귀적 블록 구조를 분석한다. 이 수열들은 수열 내 반복 패턴의 구조를 추적한다.
• 첫 두 백만 항에 대한 광범위한 수치 계산을 통해 수열의 성장과 구조, 그리고 유도된 수열의 특성을 경험적으로 추정한다.
• 관측된 반복 블록의 빈도와 길이를 바탕으로 한 히우리스틱 모델을 적용하여 정수 $ t $ 가 처음 나타나는 위치를 추정한다.
• curling 수에 적용하는 함수를 수정함으로써 재귀를 일반화한다 (예: $ f(x) = \lfloor x/2 \rfloor $).
• 문자열에 대한 동치 관계(예: 순열 동치) 또는 부분 순서를 사용하여 더 넓은 일반화를 탐색한다. 이는 대체 재귀 규칙을 정의하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복적으로 현재 접두사의 curling 수를 뒤에 이어붙이는 방식으로 정의된 수열의 渐近적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 이 수열은 결국 유계이거나 임의의 큰 정수를 포함하는가?
• RQ3 정수 $ t $ 가 수열에서 처음 나타나는 위치는 무엇인가? ($ t \geq 5 $ 에 대해)
• RQ4 수열의 재귀적 블록 구조는 어떻게 변화하며, 이를 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ5 서브스트링에 대한 다른 재귀 규칙이나 동치 관계 하에서 일반화된 수열의 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 수열이 무한하다는 것이 증명되었으며, 이는 모든 양의 정수 $ t $ 가 결국 항으로 나타남을 의미한다.
• 4의 첫 번째 등장은 220번 째 위치에서 나타나며, 5는 약 $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{22}}}}} $ 에서 나타나는데, 이는 높이 22의 거듭제곱 탑이다.
• 첫 두 백만 항에 대한 경험적 분석은 $ t $ 가 높이 $ t-1 $ 인 거듭제곱 탑, 즉 $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{(t-1)}}}}} $ 과 비슷한 위치에서 처음 나타나는 히우리스틱 추정을 지지한다.
• 수열은 반복 패턴이 다수의 수준에서 형성되는 재귀적 블록 구조를 보이며, 이는 느린 성장과 더 높은 curling 수의 등장 원인을 이룹니다.
• curling 수에 함수를 적용하거나 순열 동치를 사용하는 등의 재귀의 일반화는 유사한 느린 성장과 무한성 특성을 가진 새로운 수열을 생성한다.
• 이차원 및 그레디 변형 수열이 정의되며, 이차원 변형은 행과 열에 원래 수열을 유지하고, 그레디 변형은 가능한 한 매 단계에서 curling 수를 최대화한다.