[논문 리뷰] A solution to a problem of Cassels and Diophantine properties of cubic numbers

Uri Shapira|ArXiv.org|2008. 10. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캐슬스가 제기한 오랜 문제를 해결하며, 거의 모든 실수 쌍이 비균일한 균일 버전의 리틀우드 추측을 만족함을 증명하고, 또한 전체 실수 입체 수체를 생성하는 쌍이 이 성질을 만족함을 보여준다. 핵심 결과는 특정 격자의 비균일 최소값이 0임을 증명하여, 대각 작용 하에서 궤도 폐쇄가 조밀함을 의미하며, 디오판틴 대수적 근사와 동차 동역계 이론에 응용된다.

ABSTRACT

We prove that almost any pair of real numbers a,b, satisfies the following inhomogeneous uniform version of Littlewood's conjecture: (*) forall x,y in R, liminf_{|n| o\infty} |n| = 0, where denotes the distance from the nearest integer. The existence of even a single pair that satisfies (*), solves a problem of Cassels from the 50's. We then prove that if 1,a,b span a totally real number field, then a,b, satisfy (*). It is further shown that if 1,a,b, are linearly dependent over Q, a,b cannot satisfy (*). The results are then applied to give examples of irregular orbit closures of the diagonal groups of a new type.

연구 동기 및 목표

• 차원 $d \geq 3$ 에서 단위 격자의 스펙트럼의 하한이 0인지 여부를 밝혀내는 캐슬스 문제를 해결하기 위해.
• 거의 모든 쌍 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 에 대해 리틀우드 추측의 균일한 비균일 버전을 확립하여 기존 결과를 일반화하기 위해.
• 유리수 위에서 선형적으로 종속인 $1, \alpha, \beta$를 만족하는 쌍 $\alpha, \beta$가 비균일 조건을 만족하지 못하는 경우를 특성화하기 위해.
• 전체 실수 입체 수체에서 유래한 특정 대수적 쌍이 비균일 조건을 만족함을 보여주어, 캐슬스와 스위너튼-다이어의 결과를 일반화하기 위해.
• 고차원 동작의 강성 원리를 활용하여, 동차 공간에서 대각군에 대한 새로운 비정상 궤도 폐쇄 예를 구성하기 위해.

제안 방법

• 동차 공간 위에서 고차원 교환군의 행동에 대한 강성 결과를 활용하여 격자 궤도의 행동을 분석하기 위해.
• 격자 $x \in X_d$ 의 비균일 최소값 $\mu(x)$ 를 사용하여, 곱 노름 $N(w) = \prod w_i$ 에서 원점에 얼마나 가까이 오는지를 측정하기 위해.
• 디오판틴 조건을 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $|n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle$ 의 하한에 대한 진술로 변환하여, 거의 모든 $\alpha, \beta$ 에서 이 값이 0이 됨을 보여주기 위해.
• 격자(격자의 이동)와 그 기저 격자 간의 관계를 분석하기 위해 $Y_d \to X_d$ 의 사영 $\pi$ 를 사용하여, 곱집합 $P(y)$ 와 그 하한 $N(y)$ 를 분석하기 위해.
• 차원 2에서 비균일 최소값의 하한에 대한 단다벤트의 결과를 응용하여, $\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$ 일 때 반례를 구성함으로써 $\mu(x_v) > 0$ 임을 보여주기 위해.
• 특히 $x_0 \in \overline{Ax}$ 이면 $\mu(x_0) \geq \mu(x)$ 이므로 $\mu(x) > 0$ 이면 조밀 궤도가 불가능하다는 점을 이용하여, $X_3$ 에서 궤도 폐쇄에 대한 추측에 대한 반례를 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $d \geq 3$ 에서 거의 모든 격자 $x \in X_d$ 에 대해 비균일 최소값 $\mu(x)$ 가 0이 되는가?
• RQ2 거의 모든 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 가 비균일 균일 리틀우드 추측을 만족하는가? 즉, 모든 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$ 이 성립하는가?
• RQ3 $1, \alpha, \beta$ 가 전체 실수 입체 수체의 기저를 이룰 경우, $\alpha, \beta$ 는 비균일 조건을 만족하는가? 특히 $\gamma, \delta \neq 0$ 이어도 성립하는가?
• RQ4 유리수 위에서 선형적으로 종속인 $1, \alpha, \beta$ 를 만족하는 $\alpha, \beta$ 에 대해 비균일 조건이 실패하는 대수적 조건은 무엇인가? 특히 이러한 경우에 대해.
• RQ5 대각군에 대한 $X_3$ 의 궤도 폐쇄에 대해, 이러한 궤도가 항상 조밀하거나 닫혀 있거나, 중간 단계의 $\mathbb{Q}$-정의 부분군의 닫힌 궤도에 포함되는지에 대한 추측을 위반하는 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 $d \geq 3$ 에서 거의 모든 격자 $x \in X_d$ 는 $\mu(x) = 0$ 을 만족하며, 이는 캐슬스의 스펙트럼이 0임을 확인하는 긍정적 해결이다.
• 거의 모든 $v \in \mathbb{R}^{d-1}$ 에 대해, 유니포텐트 행렬을 통해 정의된 격자 $x_v$ 와 $z_v$ 는 $\mu(x_v) = \mu(z_v) = 0$ 을 만족하며, 이는 비균일 조건이 성립함을 의미한다.
• 만약 $1, \alpha, \beta$ 가 전체 실수 입체 수체의 기저를 이룬다면, $\alpha, \beta$ 는 비균일 균일 리틀우드 조건을 만족한다: 모든 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$ 이다.
• 만약 $\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$ 이면 $\mu(x_v) > 0$ 이고 $\mu(z_v) > 0$ 이며, 이는 대수적으로 종속된 쌍에 대해 조건이 실패함을 보여준다.
• 어떤 $t \in \mathbb{R}$ 가 존재하여, 격자 $x_t \in X_3$ 가 대각 궤도 폐쇄에 대한 추측을 위반한다.
• 궤도 $Ax_t$ 는 조밀하지도 않고 닫혀있지도 않으며, 중간 단계의 $\mathbb{Q}$-정의 부분군의 닫힌 궤도에 포함되지도 않으며, 새로운 종류의 비정상 궤도 폐쇄를 제공한다.