[논문 리뷰] A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem

Hong Liu, Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 극단적인 그래프 이론에서 오랫동안 남아있던 두 문제를 해결한다: 색수 $k$를 가진 그래프는 역수의 합이 $(1/2 - o_k(1))\log k$ 이상인 홀수 순환을 포함함을 증명하며, 높은 평균 차수는 긴 간격 동안 모든 짝수 길이의 순환을 유도함을 보인다. 핵심 혁신은 고연결성 부분그래프에서 길이를 제어할 수 있는 경로를 구성함으로써, 기하학적 성질과 경로 길이 분석을 통해 순환 길이를 정밀하게 제어하는 데 있다. 이는 점점 최적에 가까운 점근적 경계를 도출한다.

ABSTRACT

In 1981, Erdős and Hajnal asked whether the sum of the reciprocals of the odd cycle lengths in a graph with infinite chromatic number is necessarily infinite. Let $\mathcal{C}(G)$ be the set of cycle lengths in a graph $G$ and let $\mathcal{C}_ ext{odd}(G)$ be the set of odd numbers in $\mathcal{C}(G)$. We prove that, if $G$ has chromatic number $k$, then $\sum_{\ell\in \mathcal{C}_ ext{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$. This solves Erdős and Hajnal's odd cycle problem, and, furthermore, this bound is asymptotically optimal. In 1984, Erdős asked whether there is some $d$ such that each graph with chromatic number at least $d$ (or perhaps even only average degree at least $d$) has a cycle whose length is a power of 2. We show that an average degree condition is sufficient for this problem, solving it with methods that apply to a wide range of sequences in addition to the powers of 2. Finally, we use our methods to show that, for every $k$, there is some $d$ so that every graph with average degree at least $d$ has a subdivision of the complete graph $K_k$ in which each edge is subdivided the same number of times. This confirms a conjecture of Thomassen from 1984.

연구 동기 및 목표

• 1981년 에르되시와 헤이널이 제기한, 무한 색수를 가진 그래프에서 홀수 순환 길이의 역수 합에 대한 추측을 해결하기 위해.
• 1984년 에르되시가 제기한, 높은 평균 차수의 그래프가 거듭제곱 2의 길이를 가진 순환을 포함하는지 여부를 규명하기 위해.
• 1984년 톰센의 추측을 확인하기 위해, 높은 평균 차수는 모든 간선이 동일한 횟수로 분할된 $K_k$의 분할을 유도함을 보여주기 위해.
• 높은 평균 차수를 가진 그래프에서 짝수 순환 길이의 조밀한 집합을 유도하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 높은 연결성 부분그래프에서 경로를 조합함으로써, 높은 평균 차수를 가진 그래프에서 연속된 짝수 순환 길이의 긴 간격을 구성한다.
• 기하학적 성질과 부분그래프의 합집합에서 최단 경로를 통한 경로 길이 제어를 이용해 홀수 순환을 생성한다.
• 반복적인 경로 연장 기법을 적용하여 순환 길이를 다양화하면서도 홀수 성질을 유지함으로써, 조밀한 순환 길이 집합을 가능하게 한다.
• 부분그래프의 지름과 최단 경로 성질을 활용하여 구성된 순환의 길이를 제어한다.
• 세 개의 부분그래프에 걸쳐 정점 집합과 경로를 분할하는 전략을 도입하여 순환 길이의 다양성을 보장한다.
• 재귀적 경로 구성과 기하학적 제약 조건을 통해 홀수 순환 길이의 역수 합에 하한을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프의 색수 $k$가 홀수 순환 길이의 역수 합이 $k$에 대해 로그적으로 증가시킬 수 있는가?
• RQ2 모든 평균 차수가 $d$ 이상인 그래프가 거듭제곱 2의 길이를 가진 순환을 포함하는 유한한 $d$가 존재하는가?
• RQ3 높은 평균 차수로 인해 모든 간선이 동일한 횟수로 분할된 $K_k$의 분할이 보장되는가?
• RQ4 고평균차수를 가진 그래프에서 피할 수 없는, 명시적이고 밀도가 0인 정수 수열이 존재하는가?
• RQ5 높은 색수를 가진 그래프에서 순환 길이의 역수 합이 $k$의 함수로 아래에서 유계일 수 있는가?

주요 결과

• 색수 $k$를 가진 그래프에서 홀수 순환 길이의 역수 합은 최소 $(1/2 - o_k(1))\log k$ 이상이며, 이는 점점 최적에 가까운 결과이다.
• 모든 평균 차수가 $d$인 그래프는 $[\log^8 \ell, \ell]$ 범위의 짝수 정수 전부가 순환 길이가 되는 간격을 포함하며, 이때 $\ell \geq d/(10\log^{12}d)$이다.
• 충분히 높은 평균 차수를 가진 모든 그래프는 긴 간격 동안 모든 짝수 길이의 순환을 포함함을 보여, 순환 길이 밀도에 관한 오랜 문제를 해결한다.
• 거듭제곱 2는 고평균차수를 가진 그래프에서 피할 수 없으며, 이는 1984년 에르되시의 추측을 확인한다.
• 모든 $k$에 대해, $d$가 존재하여 평균 차수가 $d$ 이상인 모든 그래프는 모든 간선이 동일한 횟수로 분할된 $K_k$의 분할을 포함한다. 이는 톰센의 1984년 추측을 확인한다.
• 이 방법은 다른 수열으로 일반화 가능하며, 임의의 지수적으로 유계인 증가하는 짝수 정수 수열은 고평균차수 조건 하에서 피할 수 없다는 것을 보여준다.