[논문 리뷰] A solution to Lov\'asz's Seventeenth problem

Hamed Hatami, Serguei Norine|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 13.

Graph theory and applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 실수 다변수 다항식으로의 환원을 통해, 모든 양의 양자 그래프(즉, 그래프 호모모르피즘 밀도 간 부등식)가 제곱합으로 표현될 수는 없다는 것을 보여줌으로써 로바슈의 열일곱 번째 문제를 해결한다. 또한 이러한 부등식을 검증하는 것이 결정 불가능하다는 것을 증명하여, 힐베르트의 열일곱 번째 문제에 대한 아르틴의 해법이 양자 그래프 설정에서는 성립하지 않는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The purpose of this article is to show that even the most elementary problems in asymptotic extremal graph theory can be highly non-trivial. We study linear inequalities between graph homomorphism densities. In the language of quantum graphs the validity of such an inequality is equivalent to the positivity of a corresponding quantum graph. Similar to the setting of polynomials, a quantum graph that can be represented as a sum of squares of labeled quantum graphs is necessarily positive. Lovasz asks whether the opposite is also true. We answer this question and also a related question of Razborov in the negative by introducing explicit valid inequalities that do not satisfy the required conditions. Our solution to these problems is based on a reduction from real multivariate polynomials and uses the fact that there are positive polynomials that cannot be expressed as sums of squares of polynomials. It is known that the problem of determining whether a multivariate polynomial is positive is decidable. Hence it is very natural to ask Is the problem of determining the validity of a linear inequality between homomorphism densities decidable? We give a negative answer to this question which shows that such inequalities are inherently difficult in their full generality. Furthermore we deduce from this fact that the analogue of Artin's solution to Hilbert's seventeenth problem does not hold in the setting of quantum graphs.

연구 동기 및 목표

• 모든 양의 양자 그래프가 제곱합으로 표현될 수 있는지 여부에 대한 로바슈의 질문을 다루는 것.
• 그래프 호모모르피즘 밀도 간 선형 부등식의 타당성을 검증하는 문제가 결정 가능한지 조사하는 것.
• 힐베르트의 열일곱 번째 문제에 대한 아르틴의 해법의 양자 그래프 설정에서의 해당성 여부를 규명하는 것.
• 로바슈와 라즈보르프가 제기한 양자 그래프의 양의 표현에 관한 관련 질문들에 대해 부정적인 답변을 제공하는 것.

제안 방법

• 기존에 알려진, 제곱합으로 표현될 수 없는 양의 다항식에 대한 결과를 활용하여 실수 다변수 다항식에서 양자 그래프로의 환원.
• 모든 양의 양자 그래프가 제곱합으로 표현된다는 가설에 대한 명시적 반례의 구성.
• 실수대수기하학에서 잘 알려진 결과인, 제곱합으로 표현될 수 없는 양의 다항식이 존재한다는 사실의 활용.
• 양자 그래프의 양성과 비음이 아닌 다변수 다항식 간의 대응 관계 수립.
• 그래프 호모모르피즘 밀도 간 선형 부등식의 타당성을 판단하는 문제가 결정 불가능하다는 것을 증명하는 것.
• 논리적 및 대수적 기법을 사용하여 이러한 부등식에 대한 일반적인 알고리즘적 해법이 불가능함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 양의 양자 그래프는 레이블이 부여된 양자 그래프들의 제곱합으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 그래프 호모모르피즘 밀도 간 선형 부등식의 타당성을 판단하는 문제는 결정 가능한가?
• RQ3 힐베르트의 열일곱 번째 문제에 대한 아르틴의 해법의 양자 그래프 설정에서의 해당성은 성립하는가?
• RQ4 제곱합 조건을 만족하지 못하는 그래프 호모모르피즘 밀도 간의 타당한 부등식이 존재하는가?
• RQ5 점근적 극값 그래프 이론에서 부등식을 검증하는 데 있어 논리적 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 양의 양자 그래프가 레이블이 부여된 양자 그래프들의 제곱합으로 표현될 수는 없으며, 이는 로바슈의 열일곱 번째 문제에 대한 부정적인 답변을 제공한다.
• 제곱합 조건을 만족하지 못하는, 명시적으로 구성된 그래프 호모모르피즘 밀도 간 타당한 부등식이 존재한다.
• 그래프 호모모르피즘 밀도 간 선형 부등식의 타당성을 판단하는 문제는 결정 불가능하다.
• 힐베르트의 열일곱 번째 문제에 대한 아르틴의 해법의 양자 그래프 설정에서의 해당성은 성립하지 않는다.
• 결정 불가능성 결과는 다변수 다항식이 음이 아닌지 여부를 판단하는 문제로의 환원에 기인한다.