[논문 리뷰] A solution to the market making problem

Olivier Guéant, Charles‐Albert Lehalle외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 01.

Financial Markets and Investment Strategies참고 문헌 19인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 재고 제약 조건 하에서 확률적 제어 문제로 시장 메이킹 문제를 공식화하여 헤이지미-볼타-벨만(Hamilton-Jacobi-Bellman) 방정식을 선형 상미분방정식 시스템으로 변환한다. 주요 기여는 가격 리스크와 재고 노출을 고려한 최적의 매수 및 매도 호가에 대한 폐쇄형 근사식을 제공하는 것으로, 점점 더 긴 장기적 호가 행동을 드러내는 점근적 분석을 수행한다.

ABSTRACT

Market makers continuously set bid and ask quotes for the stocks they have under consideration. Hence they face a complex optimization prob- lem in which their return, based on the bid-ask spread they quote and the fre- quency at which they indeed provide liquidity, is challenged by the price risk they bear due to their inventory. In this paper, we consider a stochastic con- trol problem similar to the one introduced by Ho and Stoll (17) and formalized mathematically by Avellaneda and Stoikov (3). The market is modeled using a reference price St following a Brownian motion with standard deviation σ, arrival rates of buy or sell liquidity-consuming orders depend on the distance to the reference price St and a market maker maximizes the expected utility of its P&L over a finite time horizon. We show that the Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to the stochastic optimal control problem can be trans- formed into a system of linear ordinary differential equations and we solve the market making problem under inventory constraints. We also shed light on the asymptotic behavior of the optimal quotes and propose closed-form approxi-

연구 동기 및 목표

• 스프레드 수익을 극대화하고 재고 리스크를 관리해야 하는 복잡한 최적화 과제를 해결하기 위해.
• 확률적 가격 변동성이 존재하는 유한한 시간 범위 내에서 시장 메이커의 동적 의사결정 과정을 모델링하기 위해.
• 실제 리스크 관리와 반영된 최적의 호가 전략에 재고 제약 조건을 통합하기 위해.
• 점근적 분석을 활용하여 최적의 호가에 대한 폐쇄형 근사식을 유도하기 위해.
• 시장 메이킹의 확률적 최적 제어 문제에 대해 수학적으로 다룰 수 있는 해법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 재고 제약 조건 하에서 시장 메이킹 문제를 확률적 최적 제어 문제로 공식화하며, 변동성 σ를 갖는 브라운 운동으로 모델링된 기준 가격을 사용한다.
• liquidity 주문의 도착을 거리에 따라 변동하는 비율을 갖는 포아송 과정으로 모델링한다. 이는 호가와 기준 가격 간의 거리에 따라 달라진다.
• 시장 메이커의 최적 제어 정책을 지배하는 헤이지미-볼타-벨만(Hamilton-Jacobi-Bellman) 방정식을 유도한다.
• 수학적 재구성 방법을 통해 비선형 HJB 방정식을 선형 상미분방정식 시스템으로 변환한다.
• 재고 제약 조건 하에서 시스템을 해결하여 최적의 매수 및 매도 호가를 도출한다.
• 장기적 행동을 분석하기 위해 점근적 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재고 제약 조건 하에서 시장 메이킹 문제를 어떻게 확률적 제어 문제로 공식화할 수 있는가?
• RQ2 이 공식화 하에서 최적의 매수 및 매도 호가의 해석적 구조는 어떠한가?
• RQ3 시간이 경과함에 따라, 특히 만기까지의 시간이 길어질수록 최적의 호가는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 HJB 방정식을 해를 구할 수 있는 선형 상미분방정식 시스템으로 변환할 수 있는가?
• RQ5 점근적 조건 하에서 최적의 호가에 대한 폐쇄형 근사식을 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 시장 메이킹 문제에 대한 헤이지미-볼타-벨만(HJB) 방정식은 선형 상미분방정식 시스템으로 변환되어 분석적 해법이 가능해졌다.
• 재고 제약 조건 하에서 최적의 매수 및 매도 호가가 유도되었으며, 이는 스프레드 수익과 가격 리스크 노출 간의 균형을 반영한다.
• 최적의 호가에 대한 폐쇄형 근사식이 제공되어 실용적 구현이 용이하다.
• 점근적 분석 결과, 시간 범위가 길어질수록 최적의 호가가 안정적인 스프레드 구조로 수렴하는 것으로 나타났다.
• 모델은 재고 수준, 가격 움직임, 주문 유입 간의 동적 상호작용을 포괄하여 리스크 인식 기반의 견고한 프레임워크를 제공한다.