[논문 리뷰] A Spectral Sequence Connecting Continuous With Locally Continuous Group Cohomology

Martin Fuchssteiner|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상군에 대해 연속 군 코homology와 국소 연속 군 코homology를 연결하는 스펙트럴 시퀀스를 구성하며, 수축 가능한 위상군의 경우 두 코homology 이론이 동형임을 증명한다. 이 방법은 수축 가능성에 의해 정확성이 보장되는 행 정확(double complex)에 기반하며, 이로 인해 코homology 동형이 유도되며, 아르케산더-스파니에르 코homology를 통해 미분 가능 리 군으로의 일반화가 가능하다.

ABSTRACT

We present a spectral sequence connecting the continuous and 'locally continuous' group cohomologies for topological groups. As an application it is shown that for contractible topological groups these cohomology concepts coincide. Similar results for k-groups and smooth cochains on Lie groups are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 위상군에 대해 연속 군 코homology와 국소 연속 군 코homology 간의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 실수 계수를 가진 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$와 같은 예시에서 관찰되는 연속 군 코hom로의 장점 긴 긴 연속 시퀀스의 실패를 해결하기 위해.
• 수축 가능한 위상군의 경우 연속 군 코hom로와 국소 연속 군 코호모로가 일치함을 증명하기 위해.
• 아르케산더-스파니에르 코호모로를 이용해 결과를 미분 가능 변환군과 리 군으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 행과 열이 각각 $C_{cg}^{*}(G;V)$와 $C_{c}^{*}(G;V)$로 증강된 행 정확(double complex)인 $A_{cg,eq}(G;V)$를 구성하기 위해.
• G의 수축 가능성에 의해 이 이중 복합체의 열들이 정확하다는 것을 보여주며, 이는 포함사상 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 가 코호모로에서 동형을 유도함을 의미한다.
• 지수 법칙과 열린 극한(colimit) 구성법을 활용해 연속 코체인과 국소 연속 코체인의 코체인 복합체를 연결하기 위해.
• 다양체에 대해 코호모로의 층 코체인의 열린 극한과 아르케산더-스파니에르 코호모로 사이의 동형을 활용하기 위해.
• 스펙트럴 시퀀스 기법을 적용하여 $H_{cg}^{*}(G;V)$와 $H_{c}^{*}(G;V)$를 비교하고, 수축 가능성 하에서 동일한 코호모로로 수렴함을 보여주기 위해.
• 수축 가능한 다양체에서 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V) \hookrightarrow A_{AS}^{*}(M;C(M^{p+1},V))$ 가 코호모로에서 동형을 유도함을 확인함으로써 결과를 미분 가능 리 군으로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 가능한 위상군에 대해 연속 군 코호모로와 국소 연속 군 코호모로가 일치하는가?
• RQ2 왜 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$와 같은 컴acts Hausdorff 군에서 연속 군 코호모로의 표준 장점 긴 연속 시퀀스가 실패하는가?
• RQ3 연속 군 코호모로와 국소 연속 군 코호모로를 연결하는 스펙트럴 시퀀스를 구성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 포함사상 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 가 코호모로에서 동형을 유도하는가?
• RQ5 코호모로 간의 동형이 미분 가능 리 군으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 수축 가능한 위상군의 경우 포함사상 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ 가 코호모로에서 동형을 유도하므로 $H_{cg}^{*}(G;V) \cong H_{c}^{*}(G;V)$ 이다.
• $G = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 에서 연속 코호모로의 장점 긴 연속 시퀀스 실패 문제는 국소 연속 코체인을 사용함으로써 해결된다.
• 이중 복합체 $A_{cg,eq}(G;V)$ 는 행 정확이며, 수축 가능성 하에서 열의 정확성이 코호모로 동형을 유도한다.
• 미분 가능하게 수축 가능한 리 군의 경우 연속 군 코호모로는 대각선에서 연속한 껍질을 가진 동차 군 코체인의 코호모로와 동형이다.
• 수축 가능한 다양체 $M$ 에 대해 층 코체인의 열린 극한 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V)$ 의 코호모로는 자명하므로, 코호모로 이론 간의 동형이 유도된다.
• 미분 가능하게 수축 가능한 리 군 $G$ 에 대해 포함사상 $A_{s}^{*}(M;V)^{G} \hookrightarrow A_{sg}^{*}(M;V)^{G}$ 는 코호모로에서 동형을 유도한다.