[논문 리뷰] A sphere theorem for Bach-flat manifolds with positive constant scalar curvature

Yi Fang, Wei Yuan|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 바흐-평탄한 리만다이니안 다양체에서 양의 일정한 스칼라 곡률을 가진 경우에 대해 구의 정리(_sphere theorem_)를 수립한다. 만약 웨일 및 추적 없는 리치 텐서가 $L^\infty$ 또는 $L^{n/2}$ 노름으로 충분히 작다면, 다양체는 국소적으로 구형이어야 한다. 이 결과는 앙드레아스 싱거의 아인슈타인 다양체에 대한 강성 정리의 일반화이며, 양라베 상수 제어 하에 새로운 대칭 2-텐서에 대한 전역 추정과 소볼레프 부등식을 사용하여 4차원의 등각적 구 정리(Chang-Gursky-Yang)의 일부를 회복한다.

ABSTRACT

We show a closed Bach-flat Riemannian manifold with a fixed positive constant scalar curvature has to be locally spherical if its Weyl and traceless Ricci tensors are small in the sense of either $L^\infty$ or $L^{\frac{n}{2}}$-norm. Compared with the complete non-compact case done by Kim, we apply a different method to achieve these results. These results generalize a rigidity theorem of positive Einstein manifolds due to M.-A.Singer. As an application, we can partially recover the well-known Chang-Gursky-Yang's $4$-dimensional conformal sphere theorem.

연구 동기 및 목표

• 정규화된 바흐-평탄한 다양체에서 양의 일정한 스칼라 곡률을 갖는 경우, 곡률 텐서의 작기 조건 하에서 강성 결과를 수립하는 것.
• 양의 아인슈타인 다양체에 대한 M.-A. 싱거의 강성 정리를 더 넓은 범위의 바흐-평탄한 다양체로 일반화하는 것.
• 곡률 및 양라베 상수 제약 조건 하에서 창-구르스키-양의 4차원 등각적 구 정리를 부분적으로 복원하는 것.
• 비콤팩트 케이스에서 키모의 $L^2$-노름 감쇠 기반 접근과는 다름없는, 콤팩트 다양체에 대한 새로운 전역 강성 메커니즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭 2-텐서에 대한 전역 추정(보조정리 2.3)을 활용하여 추적 없는 리치 텐서 $E$와 웨일 텐서 $W$를 제어한다.
• 차원 $n$과 양라베 상수의 하한 $\alpha_0$에만 의존하는 상수를 갖는 소볼레프 부등식을 적용한다.
• 카토의 부등식과 헬더 부등식을 사용하여 $E$와 $W$의 $L^{2n/(n-2)}$-노름을 그들의 $L^{n/2}$-노름으로 유계화한다.
• 4차원에서 웨일 텐서의 $L^2$-노름이 등각 불변임을 이용하여 원래 메트릭 $g$와 양라베 메트릭 $\hat{g}$를 연결한다.
• 4차원에서 가우스-본넷-취르너 공식을 적용하여 웨일 텐서의 $L^2$-노름을 오일러 지표와 부피로 유계화한다.
• 곡률 텐서의 $L^{n/2}$-노름이 $\alpha_0$에 의존하는 임계값 이하일 경우, 모순에 기반한 $E$와 $W$의 영함수화를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 바흐-평탄한 다양체에서 양의 일정한 스칼라 곡률을 갖는 경우, 곡률의 작기 조건이 어떤 조건일 때 국소적으로 구형이 되는가?
• RQ2 양의 아인슈타인 다양체에 대한 강성 결과는 바흐-평탄한 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ3 곡률 텐서의 $L^{n/2}$-노름 제약 조건 하에서 창-구르스키-양의 4차원 등각적 구 정리는 어느 정도 복원될 수 있는가?
• RQ4 양라베 상수가 바흐-평탄한 다양체의 강성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비콤팩트 설정에서 사용된 $r \to \infty$의 추론 방식을 피하면서, 콤팩트 바흐-평탄한 다양체에 대한 전역 강성 메커니즘이 존재하는가?

주요 결과

• 만약 $||W||_{L^\infty} + ||E||_{L^\infty} < \frac{n-1}{4}$ 이면, 다양체는 $\mathbb{S}^n$의 몫과 등距이다.
• 만약 $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{3\alpha_0}{32n(n-1)}$ 이고, 양라베 상수 $Y(M,[g]) \geq \alpha_0 > 0$ 이면, 다양체는 $\mathbb{S}^n$의 몫과 등距이다.
• 동일한 양라베 상수 조건 하에서, 만약 $||W||_{L^{n/2}} + ||E||_{L^{n/2}} < \frac{\alpha_0}{4n(n-1)}$ 이면, 다양체는 에인슈타인 다양체이다.
• 4차원에서, 만약 $\int_M |W_g|^2 dv_g < \frac{32}{3}\pi^2(\chi(M^4) - 2) + \frac{\alpha_0}{192}$ 이면, $(M^4,g)$ 는 $\mathbb{S}^4$ 또는 $\mathbb{RP}^4$ 와 등각적이다.
• 증명은 대칭 2-텐서에 대한 새로운 전역 추정과, $C_S$ 가 오직 $n$ 과 $\alpha_0$ 에만 의존하고 메트릭에 무관한 소볼레프 부등식에 기반한다.
• 결과는 싱거의 $L^{n/2}$-간격 정리에 대한 일반화이며, 전체 곡률의 조임 조건이 필요 없이 4차원 등각적 구 정리를 부분적으로 복원한다.