[논문 리뷰] A splitting theorem for Kahler manifolds with constant eigenvalues of the Ricci tensor

Vestislav Apostolov, Tedi Drăghici외 1명|arXiv (Cornell University)|2000. 07. 20.

Geometry and complex manifolds인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 서로 다른 일정한 음이 아닌 레이치 고유값을 가진 컴act 켈러 다양체가 국소적으로 두 개의 켈러-아인슈타인 다양체의 곱임을 증명하며, 다양한 복소차원에서 비가역적 예시—균일한 경우와 비균일한 경우—를 구성한다. 이들 예시는 음의 고유값을 포함하며, 짝수 실수 차원 > 4에서 완전한 아인슈타인 엄밀한 거의 켈러 계량을 유도한다.

ABSTRACT

Abstract. It is proved that a compact Kähler manifold whose Ricci tensor has two distinct constant non-negative eigenvalues is locally the product of two Kähler-Einstein manifolds. A stronger result is established for the case of Kähler surfaces. Irreducible Kähler manifolds with two distinct constant eigenvalues of the Ricci tensor are shown to exist in various situations: there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 2 with one eigenvalue negative and the other one positive or zero; there are homogeneous examples of any complex dimension n ≥ 3 with two negative eigenvalues; there are non-homogeneous examples of complex dimension 2 with one of the eigenvalues zero. The problem of existence of Kähler metrics whose Ricci tensor has two distinct constant eigenvalues is related to the celebrated (still open) Goldberg conjecture [24]. Consequently, the irreducible homogeneous examples with negative eigenvalues give rise to complete Einstein strictly almost Kähler metrics of any even real dimension greater than 4. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53B20, 53C25 1.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 서로 다른 일정한 음이 아닌 레이치 고유값을 가진 컴팩트 켈러 다양체에 대한 분할 정리 수립.
• 특히 음의 또는 영 고유값을 포함하는 경우, 두 개의 서로 다른 일정한 레이치 고유값을 가진 비가역 켈러 다양체의 존재를 조사.
• 이러한 계량의 존재성과 거의 켈러 아인슈타인 다양체에 대한 개방된 골드버그 추측 사이의 관계를 규명.
• 다양한 복소차원에서 명시적인 균일한 및 비균일한 예시를 구성.
• 두 개의 음의 고유값 또는 한 개의 음의 고유값과 다른 하나의 영 또는 양 고유값을 가진 비가역 예시가 고차원에서 존재함을 보여줌.

제안 방법

• 상수 고유값을 가진 컴팩트 켈러 다양체에서 레이치 텐서의 구조를 이용하여 곡률 분해를 분석.
• 레이치 곡률을 일정한 고유값을 가진 대칭 엔도모르피즘으로 간주하고 미분기하 기법을 적용.
• 표현 이론과 동차 공간 구성 기법을 활용하여 복소차원 n ≥ 2 및 n ≥ 3에서 예시를 생성.
• 거의 복소 구조의 적합성 조건과 아인슈타인 계량과의 호환성을 분석.
• 상수 레이치 고유값은 비퇴화 조건 하에 특정 호로노미 감소 또는 국소 곱 구조를 유도함을 이용.
• 켈러-아인슈타인 다양체의 분류와 균일한 예시로부터 유도된 엄밀한 거의 켈러 계량의 성질에 의존.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 서로 다른 일정한 음이 아닌 레이치 고유값을 가진 컴팩트 켈러 다양체가 국소적으로 두 개의 켈러-아인슈타인 다양체의 곱으로 분해되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 하나 또는 둘 다 음의 고유값을 가질 경우, 두 개의 서로 다른 일정한 레이치 고유값을 가진 비가역 켈러 다양체를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 계량의 존재성과 거의 켈러 아인슈타인 다양체에 대한 골드버그 추측 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 복소차원 n ≥ 3에서 두 개의 음의 레이치 고유값을 가진 균일한 예시가 존재하는가?
• RQ5 복소차원 2에서 영 레이치 고유값을 가진 비균일한 예시를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 서로 다른 일정한 음이 아닌 레이치 고유값을 가진 컴팩트 켈러 다양체는 국소적으로 두 개의 켈러-아인슈타인 다양체의 곱과 등거리이다.
• 모든 복소차원 n ≥ 2에서 음의 하나와 양 또는 영 고유값을 가진 비가역 균일한 켈러 다양체가 존재한다.
• 모든 복소차원 n ≥ 3에서 두 개의 음의 레이치 고유값을 가진 균일한 예시가 존재한다.
• 복소차원 2에서 영 레이치 고유값을 가진 비균일한 예시가 존재한다.
• 두 개의 음의 고유값을 가진 비가역 균일한 예시는 짝수 실수 차원 > 4에서 완전한 아인슈타인 엄밀한 거의 켈러 계량을 유도한다.
• 결과는 골드버그 추측의 일부를 다루는 새로운 아인슈타인 엄밀한 거의 켈러 계량의 구성 제공.