[논문 리뷰] A stabilized nonconforming Nitsche's extended finite element method for Stokes interface problems

Xiaoxiao He, Fei Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 불일치하는 메esh와의 인터페이스를 가진 스토크스 인터페이스 문제를 위한 안정화된 비일치 Nitsche의 확장된 유한요소법(NXFEM)을 제안한다. 인터페이스를 관통하는 데는 조화 평균 유량을, 잘린 변을 관통하는 데는 산술 평균 유량을 사용하며, 인프-서프 조건을 확보하기 위해 추가적인 안정화 항을 도입한다. 이 방법은 점성도의 변화나 인터페이스 위치에 관계없이 최적 수렴 속도와 강건성을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, a stabilized extended finite element method is proposed for Stokes interface problems on unfitted triangulation elements which do not require the interface align with the triangulation. The velocity solution and pressure solution on each side of the interface are separately expanded in the standard nonconforming piecewise linear polynomials and the piecewise constant polynomials, respectively. Harmonic weighted fluxes and arithmetic fluxes are used across the interface and cut edges (segment of the edges cut by the interface), respectively. Extra stabilization terms involving velocity and pressure are added to ensure the stable inf-sup condition. We show a priori error estimates under additional regularity hypothesis. Moreover, the errors {in energy and $L^2$ norms for velocity and the error in $L^2$ norm for pressure} are robust with respect to the viscosity {and independent of the location of the interface}. Results of numerical experiments are presented to {support} the theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 메쉬와 인터페이스가 일치하지 않을 경우 XFEM에서 스토크스 인터페이스 문제의 혼합 유한요소 방법의 불안정성 문제를 해결한다.
• 불일치 메쉬에서 비일치 P1/P0 유한요소 쌍이 인프-서프 조건을 만족하도록 보장한다.
• 점성도 대비 차이나 인터페이스 위치에 관계없이 최적 수렴성과 강건성을 유지하는 방법을 개발한다.
• 비일치 요소와 안정화 항을 통합하여 속도와 압력의 인터페이스를 관통한 불연속성을 다룰 수 있도록 Nitsche의 방법을 적용한다.

제안 방법

• 각 인터페이스 측면에서 속도에 대해 비일치 선형 다항식, 압력에 대해 비일치 상수 다항식을 사용한다.
• 인터페이스를 관통하는 데는 조화 평균 유량을, 잘린 변을 관통하는 데는 산술 평균 유량을 적용하여 연속성 및 점프 조건을 약하게 강제한다.
• 유속과 압력을 포함한 추가 안정화 항을 도입하여 혼합 형식을 안정화하고 인프-서프 조건을 보장한다.
• Nitsche의 방법을 사용하여 인터페이스 조건을 약하게 강제함으로써 인터페이스에 맞는 메쉬가 필요 없도록 한다.
• 요소가 인터페이스를 따라 일치할 필요가 없는 불일치 메쉬를 활용하여 복잡하거나 시간에 따라 변화하는 인터페이스에 대해 효율적인 메쉬 생성이 가능하다.
• 에너지 및 L² 노름에서 수렴 추정치를 유도하기 위해 추가적인 정규성 가정 하에 사전 오차 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불일치 메쉬에서 비일치 Nitsche의 XFEM이 안정화되어 스토크스 인터페이스 문제에 대해 최적 수렴성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 유체 상의 점성도 대비 차이가 클 경우에도 방법이 강건한가?
• RQ3 유속과 압력의 오차가 메쉬에 대한 인터페이스 위치에 따라 영향을 받는가?
• RQ4 불연속성이 존재하는 상황에서 비일치 P1/P0 요소 쌍에 대해 인프-서프 조건을 유지할 수 있는가?
• RQ5 에너지 및 L² 노름에서 유속과 압력의 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 최적 수렴 속도를 확보한다: 유속의 L² 노름에서 2차, 압력의 에너지 노름과 L² 노름에서 1차.
• 유속의 에너지 노름에서 오차는 1차로 수렴하고, L² 노름에서 2차로 수렴하며, 수치적으로 수렴 속도가 확인된다.
• 점성도의 변화에 대해 강건하다: μ₁/μ₂가 10에서 10⁵로 증가함에 따라 오차는 일정하게 유지되며, h = 1/32일 때 유속 오차는 약 0.0737, 압력 오차는 약 0.0615로 안정화된다.
• 압력의 L² 노름에서 오차는 인터페이스 위치와 점성도 대비에 영향을 받지 않아 강건성을 입증한다.
• 수치 실험을 통해 여러 메쉬 정밀도(h = 1/4에서 h = 1/64)에서 최적 수렴 순서가 확인되어 이론적 분석을 뒷받침한다.
• 안정화 항이 비일치 P1/P0 쌍에 대해 인프-서프 조건을 성공적으로 유지하여 불일치 메쉬에서 안정된 혼합 형식을 가능하게 한다.