[논문 리뷰] A ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture

Jonathan Rosenberg, Stephan Stolz|arXiv (Cornell University)|1994. 07. 05.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 고정된 스핀 다양체 $M$가 차원 $n \geq 5$를 가지며, 기본군의 $KO$-이론에서의 디랙 연산자의 지수($index$)가 0이면, Bott 다양체 $B$ (점에서의 $KO_8(\text{pt})$의 주기성 생성자로 표현되는 8차원 다양체)와의 곱을 취한 후에 양의 스칼라 곡률을 가진 계량을 가질 수 있다는 '안정화된' Gromov-Lawson 추측을 제안한다. 저자들은 유한 기본군을 가진 모든 스핀 다양체와 많은 무한 기본군을 가진 스핀 다양체에 대해 이 안정화된 추측을 $KO$-이론, bordism 이론, 그리고 assembly 맵을 사용하여 증명한다.

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Gromov and Lawson, later modified by Rosenberg, concerning the existence of metrics of positive scalar curvature. It says that a closed spin manifold $M$ of dimension $n\ge 5$ has such a metric if and only if the index of a suitable ``Dirac" operator in $KO_n(C^* (π_1(M)))$, the real $K$-theory of the group $C^*$-algebra of the fundamental group of $M$, vanishes. It is known that the vanishing of the index is necessary for existence of a positive scalar curvature metric on $M$, but this is known to be a sufficient condition only if $π_1(M)$ is the trivial group, $\Bbb Z/2$, an odd order cyclic group, or one of a fairly small class of torsion-free groups. \par We note that the groups $KO_n(C^*(π))$ are periodic in $n$ with period $8$, whereas there is no obvious periodicity in the original geometric problem. This leads us to introduce a ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture, which makes the weaker statement that the product of $M$ with enough copies of the ``Bott manifold" $B$ has a positive scalar curvature metric if and only if the index of the Dirac operator on $M$ vanishes. (Here $B$ is a simply connected $8$-manifold which represents the periodicity element in $KO_8(pt)$.) We prove the stable Gromov-Lawson conjecture for all spin manifolds with finite fundamental group and for many spin manifolds with infinite fundamental group.

연구 동기 및 목표

• 원래의 Gromov-Lawson 추측이 단순한 기본군을 초월해 양의 스칼라 곡률을 위한 충분조건로 실패하는 데서 비롯된 한계를 해결하기 위해.
• 기하 문제에서의 주기성 부족을 해결하기 위해 Bott 다양체 $B$를 사용한 안정화된 형태를 도입하기 위해.
• 모든 유한 기본군을 가진 스핀 다양체와 많은 무한 기본군을 가진 스핀 다양체에 대해 안정화된 추측이 성립함을 증명하기 위해.
• assembly 맵을 통해 $KO$-이론, bordism, 그리고 양의 스칼라 곡률 계량 존재성 간의 연결 프레임워크를 수립하기 위해.
• 비단순연결 및 비스핀 universal cover를 가진 경우에 디랙 연산자 지수가 정체되는 장벽 이론에서의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 기하 문제의 안정화를 위해, $KO_8(\text{pt})$에서 주기성 생성자로 작용하는 단순연결된 8차원 다양체인 Bott 다양체 $B$를 도입한다.
• 안정화된 Gromov-Lawson 추측을 정의한다: 어떤 $k$에 대해 $M \times B^k$가 양의 스칼라 곡률 계량을 가질 조건은, $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$에서 디랙 연산자의 지수가 0이 되는 것과 동치이다.
• 주기성이 8인 $KO_n(C^*(\pi))$의 성질을 이용하여 안정된 조건이 원래의 지수 장벽과 연결됨을 밝힌다.
• bordism 정리를 적용하여, 양의 스칼라 곡률 계량 존재성과 $B\pi$의 $KO$-호모로지, 특히 $\widetilde{KO}_n(B\pi)$ 간의 관계를 규명한다.
• 수술 정리를 적용하여, 지수가 0이라면 $M \times B$가 양의 스칼라 곡률 계량을 가짐을 보이며, 이는 $B$가 양의 스칼라 곡률을 가짐을 이용한다.
• 유한 기본군의 경우, 순환 부분군에 대한 귀납법과 표현 이론을 통해 $\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$를 보여, 안정화된 추측을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙 연산자의 지수가 $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$에서 0이면, $M$이 Bott 다양체 $B$와의 곱을 취한 후에 양의 스칼라 곡률을 가질 수 있는가?
• RQ2 유한 기본군을 가진 스핀 다양체에 대해 안정화된 Gromov-Lawson 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 무한 기본군을 가진 스핀 다양체, 특히 토퍼션-프리 또는 순환 부분군을 가진 경우에 안정화된 추측이 성립하는가?
• RQ4 $KO$-이론의 주기성이 양의 스칼라 곡률 기하 문제와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 assembly 맵과 $KO$-호모로지가 양의 스칼라 곡률 계량을 가진 다양체의 bordism 동치류를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한 기본군을 가진 모든 스핀 다양체에 대해 안정화된 Gromov-Lawson 추측이 성립하며, $\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$ 이다.
• 유한군 $\pi$에 대해, 순환 부분군 $H$에 대해 $\bigoplus_{H}KO_*(BH)$의 이미지가 $KO_*(B\pi)$에 유한한 지수를 가지며, 일반적인 경우를 순환 경우로 환원할 수 있다.
• $\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$에서 $\widetilde{KO}_n(\mathbb{CP}^\infty)$로 가는 사상 $p_*$는 자명하며, 장기 정확열의 경계 사상 $\partial$는 전사이다. 이는 $\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$의 모든 원소가 양의 스칼라 곡률을 가진 다양체에 의해 표현됨을 의미한다.
• 표현 이론과 표현 이론의 구조를 활용하여 순환 경우를 확장함으로써, 많은 무한 기본군을 가진 경우에 대해 안정화된 추측을 증명하였다.
• 만일 $M$이 옹호되고 그 universal cover가 비스핀이라면, $M \times B$는 항상 양의 스칼라 곡률 계량을 가진다. 이는 $B$가 $\Omega_8^{SO}(pt)$에서 $64$개의 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times \mathbb{C}\mathbb{P}^2$ 복합체와 같은 bordism 동치류이기 때문이다.
• 비스핀 다양체의 경우 디랙 연산자 장벽이 없더라도, 최소 초면적 방법을 통해 여전히 양의 스칼라 곡률이 장애가 될 수 있다. 예를 들어, $T^6 \# (\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times S^2)$는 이를 보여준다.