[논문 리뷰] A stochastic approximation method for chance-constrained nonlinear programs

Rohit Kannan, James Luedtke|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 17.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 45인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 목적값과 제약 위반 위험 사이의 균형을 잡는 이차목적문제로 재구성함으로써 확률적 제약 조건을 가진 비선형 프로그래밍 문제를 해결하기 위한 확률적 근사 방법을 제안한다. 스무드화된 근사와 투영된 확률적 하향기울기 알고리즘을 사용하여, 표본 평균 근사보다 더 나은 효율적 경계 근사에 수렴하며, 세 가지 벤치마크 문제에서 일관된 성능 향상을 보이며, 고정된 위험 수준에 대해 이분법을 사용한다.

ABSTRACT

We propose a stochastic approximation method for approximating the efficient frontier of chance-constrained nonlinear programs. Our approach is based on a bi-objective viewpoint of chance-constrained programs that seeks solutions on the efficient frontier of optimal objective value versus risk of constraints violation. In order to be able to apply a projected stochastic subgradient algorithm to solve our reformulation with the probabilistic objective, we adapt existing smoothing-based approaches for chance-constrained problems to derive a convergent sequence of smooth approximations of our reformulated problem. In contrast with exterior sampling-based approaches (such as sample average approximation) that approximate the original chance-constrained program with one having finite support, our proposal converges to local solutions of a smooth approximation of the original problem, thereby avoiding poor local solutions that may be an artefact of a fixed sample. Computational results on three test problems from the literature indicate that our proposal is consistently able to determine better approximations of the efficient frontier than existing approaches in reasonable computation times. We also present a bisection approach for solving chance-constrained programs with a prespecified risk level.

연구 동기 및 목표

• 확률적 제약 조건을 가진 비선형 프로그래밍 문제에서 목적 성능과 제약 위반 위험 간의 트레이드오프가 중요한 상황에서 효율적 경계 근사를 다루는 것.
• 고정된 표본 추출에 기인한 잡음으로 인해 나쁜 국소 해를 낳을 수 있는 외부 표본 추출 방법(예: 표본 평균 근사)의 한계를 극복하는 것.
• 스무드화된 근사 기반의 수렴 가능한 방법을 개발하여, 재구성된 이차목적문제에 대해 확률적 하향기울기 방법을 적용할 수 있도록 하는 것.
• 이분법 기반 접근을 통해 사전에 정해진 위험 수준을 가진 확률적 제약 조건 프로그래밍 문제를 신뢰할 수 있게 해결하는 방법을 제공하는 것.
• 기존의 확률적 및 표본 기반 방법들과 비교하여 효율적 경계 근사에서 계산 효율성과 해의 품질을 향상시키는 것.

제안 방법

• 확률적 제약 조건을 가진 비선형 프로그래밍 문제를 최적 목적값과 제약 위반 위험을 균형 잡는 이차목적문제로 재구성한다.
• 스무드화된 재구성 문제를 해결하기 위해 투영된 확률적 하향기울기 알고리즘을 적용하여 스무드 근사의 국소 해로 수렴하도록 한다.
• 기존의 스무드화 기반 기법을 확률적 제약 조건 문제에 적용하여 원래 문제로 수렴하는 스무드 근사의 수열을 생성한다.
• 사전에 정해진 위험 수준을 가진 확률적 제약 조건 프로그래밍 문제를 해결하기 위해 이분법 알고리즘을 사용하여 원하는 확률적 범위 내에서 타당성을 보장한다.
• 비연속적인 확률적 제약 조건을 다루기 위해 스무드화 전략을 사용하여 기울기 기반 방법이 효과적으로 적용될 수 있도록 한다.
• 스무드화를 통한 확률적 근사와 통합하여 표본 평균 근사와 같은 고정 표본 방법에서 발생하는 불안정성과 편향을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무드화와 하향기울기 최적화 기반의 확률적 근사 방법이 표본 평균 근사보다 확률적 제약 조건을 가진 비선형 프로그래밍 문제의 효율적 경계 근사에서 더 나은 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 확률적 제약 조건 문제의 이차목적문제를 스무드 근사와 함께 확률적 하향기울기 방법으로 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 표본 평균 근사에서 고정된 표본 추출으로 인해 발생하는 나쁜 국소 최적해를 어느 정도 피할 수 있는가?
• RQ4 이분법 기반 접근이 사전에 정해진 위험 수준을 가진 확률적 제약 조건 프로그래밍 문제를 신뢰성 있게 해결할 수 있으며 수렴성과 해의 품질을 유지할 수 있는가?
• RQ5 기존의 접근법들과 비교하여 제안된 방법의 계산 효율성과 해의 정확도는 표준 테스트 문제에서 어떻게 평가되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 세 가지 벤치마크 테스트 문제에서 기존 방법들보다 더 나은 효율적 경계 근사를 일관되게 생성한다.
• 스무드 근사의 국소 해로 수렴하는 방식은 고정된 표본 추출으로 인해 발생하는 허위 국소 최적해를 피할 수 있다.
• 계산 결과는 합리적인 계산 시간 내에 더 나은 해의 품질을 달성함으로써 실용적인 효율성을 입증한다.
• 이분법 접근은 사전에 정해진 위험 수준을 가진 확률적 제약 조건 프로그래밍 문제를 신뢰성 있게 해결할 수 있게 하며, 위험 회피 최적화에 실용적인 도구를 제공한다.
• 스무드화 기반 근사를 사용함으로써 비연속적인 확률적 제약 조건 문제에 대해 확률적 하향기울기 방법을 적용할 수 있게 되어 알고리즘의 안정성과 수렴성을 향상시킨다.
• 테스트 문제에서 제안된 방법은 강건성과 확장성을 보이며, 더 큰 또는 더 복잡한 확률적 제약 조건 프로그래밍 문제에의 적용 가능성을 시사한다.