[논문 리뷰] A stochastic Fokker-Planck equation and double probabilistic representation for the stochastic porous media type equation

Viorel Barbu, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무한 체적에서 다중 색 잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식의 해에 대해 이중 확률적 표현을 수립한다. 이는 계수가 랜덤인 스토크라스틱 Fokker-Planck 방정식을 사용하여 이루어지며, 주요 기여는 측도 가능하고 유계이며 가능성이 있는 퇴화된 랜덤 계수를 가진 선형 SPDE에 대해 유일성 보조정리를 증명한 것이다. 이는 법칙에 따라 확률적 미분 방정식을 통해 경로별 해를 구성하는 데 기여한다.

ABSTRACT

The purpose of the present paper consists in proposing and discussing a double probabilistic representation for a porous media equation in the whole space perturbed by a multiplicative colored noise. For almost all random realizations $ω$, one associates a stochastic differential equation in law with random coefficients, driven by an independent Brownian motion. The key ingredient is a uniqueness lemma for a linear SPDE of Fokker-Planck type with measurable bounded (possibly degenerated) random coefficients.

연구 동기 및 목표

• 무한 공간에서 다중 색 잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식에 대한 확률적 표현을 개발한다.
• 비선형성 $\psi$의 퇴화 및 비퇴화 케이스 모두에 대해 $L^1(\mathbb{R})$에서 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 측도 가능하고 유계이며 가능성이 있는 퇴화된 랜덤 계수를 가진 선형 스토크라스틱 Fokker-Planck 방정식에 대해 유일성 보조정리를 증명한다.
• 맥킨의 (1976) 결정론적 확률적 표현(예: McKean, 1976)을 다중 잡음이 있는 스토크라스틱 설정으로 확장한다.
• 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 계수를 가진 법칙에 따라 확률적 미분 방정식을 통해 경로별 해 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 무한 차원에서 $N$개의 독립 브라운 운동에 의해 구동되는 다중 잡음이 있는 비선형 SPDE로 스토크라스틱 다孔성 매체 방정식을 수립한다.
• 소음 및 유도 성분을 나타내는 랜덤 계수 $e^i(\xi)$와 $e^0(\xi)$를 가진 스토크라스틱 Fokker-Planck 방정식을 도입한다.
• praticularly every $\omega$에 대해 랜덤 계수를 가진 법칙에 따라 확률적 미분 방정식을 연결함으로써 이중 확률적 표현을 구성한다.
• $e^i$의 $H^{-1}$-승수 성질을 사용하여 $H^{-1}$-위상에서 SPDE의 적절한 해 존재성을 보장한다.
• $\varepsilon \to 0$의 정규화 및 한계 절차를 적용하여 에너지 추정과 믹스팅 항의 수렴을 유도한다.
• 국소화 및 그론발의 보조정리를 사용하여 $H^{-1}$-노름에서 해의 경로별 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 체적에서 다중 색 잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식에 대해 이중 확률적 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 측도 가능하고 유계이며 가능성이 있는 퇴화된 랜덤 계수를 가진 선형 스토크라스틱 Fokker-Planck 방정식은 유일한 해를 갖는가?
• RQ3 확률적 방법을 통해 스토크라스틱 다孔성 매체 방정식의 해에 대한 경로별 유일성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 $H^{-1}$-승수 성질이 SPDE의 적절한 해 존재성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 결정론적 확률적 표현 프레임워크는 다중 잡음이 있는 스토크라스틱 케이스로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 무한 체적에서 다중 색 잡음이 있는 스토크라스틱 다孔성 매체 방정식에 대해 이중 확률적 표현이 구성되었으며, 이는 해를 랜덤 계수를 가진 법칙에 따라 확률적 미분 방정식과 연결한다.
• 측도 가능하고 유계이며 가능성이 있는 퇴화된 랜덤 계수를 가진 선형 SPDE에 대해 유일성 보조정리가 증명되었으며, 이는 구성의 핵심이다.
• 에너지 추정과 그론발의 보조정리를 통해 $H^{-1}$-노름에서 스토크라스틱 다孔성 매체 방정식의 해에 대한 경로별 유일성이 확립되었다.
• 주어진 $\psi$ 및 $e^i$에 대한 가정 하에, $\psi$의 퇴화 및 비퇴화 케이스 모두에서 해는 $L^1(\mathbb{R})$에 존재하고 진화한다.
• 에너지 추정에서 믹스팅 항의 수렴이 $H^{-1}$-노름 제어와 리프시츠 성질을 통해 ucp(콤팩트 집합에서 균일하게) 성립함을 보였다.
• 이 방법은 $\psi$가 영 이후 엄격히 증가하는 경우와 같은 퇴화 케이스와 비퇴화 케이스 모두에 적용 가능하며, 후자의 경우 $\Phi(0) > 0$ 조건이 필요하다.