[논문 리뷰] A stochastic Gronwall inequality and applications to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, and perturbations

Anselm Hudde, Martin Hutzenthaler외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 42인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일면적 아핀-선형 성장 조건 하에서 다차원 Itô 과정에 대해 새로운 스토하스틱 그론발-리아푸노프 부등식을 수립하며, 이는 SDE의 보다 향상된 모멘트 추정, 강한 국소 리프시츠 연속성, 강한 완전성 및 섭동 한계를 가능하게 한다. 핵심 기여는 Young 부등식의 비최적 사용을 피한 p ≥ 2에 대한 더 날카운 L^p 모멘트 한계를 도출하는 것으로, 이는 이전 접근 방식보다 더 날카롭고 일반적인 결과를 이끈다.

ABSTRACT

There are numerous applications of the classical (deterministic) Gronwall inequality. Recently, Michael Scheutzow discovered a stochastic Gronwall inequality which provides upper bounds for $p$-th moments, $p\in(0,1)$, of the supremum of nonnegative scalar continuous processes which satisfy a linear integral inequality. In this article we complement this with upper bounds for $p$-th moments, $p\in[2,\infty)$, of the supremum of general It\^o processes which satisfy a suitable one-sided affine-linear growth condition. As example applications, we improve known results on strong local Lipschitz continuity in the starting point of solutions of stochastic differential equations (SDEs), on (exponential) moment estimates for SDEs, on strong completeness of SDEs, and on perturbation estimates for SDEs.

연구 동기 및 목표

• 아핀-선형 성장 조건 하에서 Itô 과정에 대해 p ≥ 2에 대한 날카운 L^p 모멘트 추정이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 모멘트 유도 과정에서 Young 부등식에 의존하는 기존 방법의 비최적성 문제를 극복하기 위해.
• SDE에 대해 더 강력한 이론적 보장을 수립하기 위해, 초기값에 대한 강한 국소 리프시츠 연속성 및 강한 완전성을 포함하기 위해.
• 수치적 근사 및 스토하스틱 모델에 대한 개선된 섭동 추정을 도출하기 위해.

제안 방법

• Young 부등식을 피하기 위해 Itô 공식과 개선된 그론발-벨만-오파일 부등식을 활용한 새로운 스토하스틱 그론발-리아푸노프 부등식을 유도한다.
• 일면적 아핀-선형 성장 조건 하에서 Itô 과정의 노름의 p차 모멘트에 이 부등식을 적용한다.
• p차 모멘트 과정에 대한 거의 확실한 항등식을 유도하기 위해 지수적 적분 인자를 사용한다.
• 과정의 Supremum에 대한 경계와 균일한 모멘트 한계를 수립하며, 초기 데이터와 소음 계수에 명시적인 의존성을 포함한다.
• 주요 부등식을 적용하여 SDE에 대한 개선된 추정치를 도출한다. 이는 지수 모멘트, 강한 완전성 및 섭동 한계를 포함한다.
• 비글로벌 단조성 존재하는 SDE에 대한 적용을 통해, 고전적 방법보다 더 날카운 한계를 도출함으로써 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀-선형 성장 조건 하에서 다차원 Itô 과정에 대해 p ≥ 2에 대해 더 날카운 L^p 모멘트 한계를 도출할 수 있는가? 이때 Young 부등식의 비최적 사용을 피할 수 있는가?
• RQ2 스토하스틱 그론발-리아푸노프 부등식은 SDE 해의 초기값에 대한 강한 국소 리프시츠 연속성 분석을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 새로운 부등식은 SDE의 지수 모멘트 추정 및 강한 완전성에 대해 어떤 개선을 가져오는가?
• RQ4 이 부등식은 tamed Euler 방법과 같은 수치적 방법에 대해 새로운, 더 날카운 섭동 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 한계는 결정론적 계수를 초월하여 SDE의 랜덤이고 적응 가능한 계수로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 논문은 일면적 아핀-선형 성장 조건 하에서 기존 방법보다 더 날카운 L^p 모멘트 한계를 도출하는 새로운 스토하스틱 그론발-리아푸노프 부등식을 수립한다. 이는 Young 부등식에 의한 비최적 추정을 피한다.
• 일면적 아핀-선형 성장 조건을 만족하는 SDE에 대해, 새로운 한계는 지수 모멘트 추정을 향상시키며 해 경로에 대한 더 강력한 통제력을 제공한다.
• 이 부등식은 비글로벌 단조성 조건이 없더라도 초기값에 대한 강한 국소 리프시츠 연속성 분석에 있어 상당한 개선을 가능하게 한다.
• 이 방법은 기존 결과보다 더 날카르고 일반적인 새로운 균일 섭동 추정치를 도출한다 (예: 정리 3.11 참조). 특히 tamed Euler 스킴에 대해 뛰어난 성능을 발휘한다.
• 이 프레임워크는 계수의 전역 단조성 조건이 필요 없이도 SDE의 두 번째 연속 미분 가능 해를 도출할 수 있도록 한다.
• 이론적 결과는 초선형 성장 계수를 갖는 SDE 및 SPDE에 대한 적용을 통해 검증되었으며, 이는 고전적 방법이 실패하는 영역에서도 성립한다.