[논문 리뷰] A stochastic model of evolution

Hervé Guiol, Fábio P. Machado외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 종이 [0,1]에서 균일하게 추출된 적합도를 가진 채로 시작되며, 사망 시 항상 가장 적합도가 낮은 종이 제거되는 확률적 진화 모델을 제안한다. 태생률이 사망률을 초과할 경우, 날카로운 적합도 임계점 $ f_c = (1-p)/p $ 가 나타나며, 이 임계점 이하의 종은 거의 확실하게 소멸하고, 이 이상의 종은 $ (f_c, 1) $ 에 균일하게 분포하게 된다. 이는 진화 역학에서의 상전이를 보여준다.

ABSTRACT

We propose a stochastic model for evolution. Births and deaths of species occur with constant probabilities. Each new species is associated with a fitness sampled from the uniform distribution on [0,1]. Every time there is a death event then the type that is killed is the one with the smallest fitness. We show that there is a sharp phase transition when the birth probability is larger than the death probability. The set of species with fitness higher than a certain critical value approach an uniform distribution. On the other hand all the species with fitness less than the critical disappear after a finite (random) time.

연구 동기 및 목표

• 적합도에 따라 선택이 이루어지는 확률적 태생-사망 과정을 사용하여 진화 역학을 모델링하는 것.
• 태생률과 사망률이 장기적인 종의 적합도 분포에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 잠재적 종과 지속 가능한 종을 구분하는 임계 적합도 임계점 $ f_c $ 가 어떻게 나타나는지 분석하는 것.
• 랜덤한 멸종 사건에도 불구하고 생존 종의 분포가 점차 균일해지는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 종은 확률 $ p $ 로 추가되고, 확률 $ q = 1-p $ 로 제거되며, 각 종은 [0,1]에서 균일하게 독립적으로 추출된 적합도를 부여받는다.
• 각 사망 사건 시, 가장 낮은 적합도를 가진 종이 제거되며, 이는 '가장 적합도가 낮은 종을 제거'하는 규칙을 시행한다.
• 모델은 임계점 $ f_c = (1-p)/p $ 이하와 초과하는 종의 수를 추적한다. 이는 $ p > 1/2 $ 인 경우 정의된다.
• 집합 $ L_n $ (임계점 이하의 종) 의 동역학은 영재귀적 태생-사망 체인으로 모델링된다.
• 큰 편차 이론과 단순 대칭 랜덤 워크를 이용한 쌍용을 통해 $ L_n $ 이 공집합이 되는 횟수를 근사한다.
• 보렐-칸텔레 보조정리와 대수의 법칙을 이용하여 거의 확실 수렴 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일정한 태생률과 사망률을 가진 확률적 진화 모델에서 임계 적합도 임계점 $ f_c $ 가 나타나는가?
• RQ2 ‘가장 적합도가 낮은 종을 제거’ 규칙 하에 장기적으로 $ f_c $ 이하의 적합도를 가진 종은 어떻게 되는가?
• RQ3 생존 종의 적합도가 $ f_c $ 초과일 경우, 그 분포는 점차 균일한가?
• RQ4 태생률 $ p $ 는 적합도 임계점 $ f_c $ 의 위치에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 랜덤한 멸종 사건에도 불구하고 고적합도 종의 점근적 균일성은 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 임계점 $ f_c $ 이하의 종 수를 나타내는 $ |L_n| $ 은 영재귀적이며, 거의 확실하게 무한히 많은 번 수를 0으로 만든다.
• 임계점 $ f_c $ 초과의 종은 점차적으로 $ (f_c, 1) $ 에 균일하게 분포하며, $ f_c < a < b < 1 $ 에 대해 거의 확실하게 $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}|R_n \cap (a,b)| = p(b-a) $ 를 만족한다.
• 시스템이 $ f_c $ 이하 종이 없는 상태에 머무른 횟수를 나타내는 $ t_n $ 은 큰 $ n $ 에 대해 거의 확실하게 $ \frac{2}{pf_c}n^{1/2+\epsilon} $ 이하로 유계이다.
• 임계점 $ f_c = \frac{1-p}{p} $ 는 결정적인 의미를 가진다: 이하의 적합도를 가진 종은 영속적으로 존재할 수 없다.
• 생존 종의 점근적 균일성은 균일한 적합도 추출뿐만 아니라, 고정된 연속적 적합도 분포에 대해서도 성립하며, 이 경우 극한은 $ p \cdot P(a < X < b) $ 가 된다.
• 이 모델은 인구수를 랜덤하게 허용하고 고적합도 종의 균일성에 대해 증명함으로써 박-스네펜 모델을 일반화한다. 이 성질은 원래 모델에서는 아직 증명되지 않은 상태이다.