[논문 리뷰] A Stochastic Partially Reversible Investment Problem on a Finite Time-Horizon: Free-Boundary Analysis

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 71인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 기업이 비용이 드는 투자와 탈투자를 통해 생산 능력을 최적화하는 유한한 시간 범위 내의 확률적 부분적으로 가역적인 투자 문제를 연구한다. 최적 제어의 존재성과 유일성을 확립하고, 두 개의 연속적이고 유계이며 단조적인 경계를 갖는 자유경계 문제를 통해 해를 특성화하며, 이 경계들은 비선형 볼테라 적분방정식의 연립방정식을 만족한다. 이는 이러한 움직이는 경계에서 반사되는 확산 과정으로 이어진다.

ABSTRACT

We study a continuous-time, finite horizon, stochastic partially reversible investment problem for a firm producing a single good in a market with frictions. The production capacity is modeled as a one-dimensional, time-homogeneous, linear diffusion controlled by a bounded variation process which represents the cumulative investment-disinvestment strategy. We associate to the investment-disinvestment problem a zero-sum optimal stopping game and characterize its value function through a free-boundary problem with two moving boundaries. These are continuous, bounded and monotone curves that solve a system of non-linear integral equations of Volterra type. The optimal investment-disinvestment strategy is then shown to be a diffusion reflected at the two boundaries.

연구 동기 및 목표

• 시장의 제약 조건이 존재하는 유한한 시간 범위 내의 확률 모델에서 최적의 투자-탈투자 전략의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 영업 이익의 최적 정지 게임에서 유래된 두 개의 움직이는 경계에서 반사되는 확산 과정으로서 최적 제어를 특성화하는 것.
• 비선형 볼테라 적분방정식의 연립방정식을 만족하는 연속적이고 유계이며 단조적인 자유경계를 통해 최적 전략의 반명시적 표현을 제공하는 것.
• 영업 이익 함수와 종료 수익이 최적 제어 정책의 형태를 어떻게 결정짓는지 분석하는 확률적 프레임워크를 개발하여, 기존 이론을 표준 최적 정지 이론을 초월하여 시간에 따라 변화하는 자유경계에까지 확장하는 것.

제안 방법

• 유한한 시간 범위 내에서 비용 비율이 적용되는 유한한 변동량 제어 문제로 투자 문제를 수립하며, 투자 및 탈투자에 대해 비례 비용을 포함한다.
• 제어 문제를 두 개의 정지 시간(최적의 진입 및 퇴출 결정을 나타냄)을 포함하는 영업 이익의 최적 정지 게임(ZSOSG)으로 재구성한다.
• 두 개의 움직이는 경계를 갖는 자유경계 문제를 통해 ZSOSG의 가치 함수를 유도한다. 이 경계들은 연속적이고 유계이며 단조적이다.
• 자유경계를 비선형 볼테라 적분방정식 제2종의 연립방정식의 해로 특성화한다.
• 이토-마이어 공식과 딘킨의 공식을 포함한 확률 기법을 사용하여 가치 함수를 분석하고 안장점 성질을 검증한다.
• 스코로호드 반사 원리를 적용하여 최적 제어가 두 개의 움직이는 경계에서 반사되는 확산 과정과 대응됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭적인 능력 확장 및 축소 비용이 존재하는 유한한 시간 범위 내의 확률 모델에서 최적의 투자-탈투자 전략은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 관련된 영업 이익의 최적 정지 게임에서 자유경계의 구조는 어떠한가? 그리고 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 최적 제어는 반사 확산 과정으로 표현될 수 있는가? 만약 가능하면, 이러한 경계에 대해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 움직이는 경계들은 비선형 볼테라 적분방정식의 연립방정식의 해와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 실행 수익 함수와 종료 수익은 최적 제어 정책의 형태를 어떻게 결정짓는가?

주요 결과

• 최적의 투자-탈투자 전략은 두 개의 연속적이고 유계이며 단조적인 움직이는 경계에서 반사되는 확산 과정임이 입증되었다.
• 두 개의 자유경계는 제2종 비선형 볼테라 적분방정식의 연립방정식의 유일한 해로 특성화된다.
• 관련된 영업 이익의 최적 정지 게임의 가치 함수는 이러한 움직이는 경계를 갖는 자유경계 문제의 유일한 해임이 증명되었다.
• 최적 제어 전략은 ZSOSG에서 안장점임이 입증되었으며, 가치 함수는 동적 프로그래밍 원리를 만족한다.
• 수익 함수와 비용 함수에 대한 일반적인 조건 하에서 최적 제어 쌍 (ν⁺, ν⁻) 의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 논문은 경계 곡선을 통해 최적 전략의 반명시적 표현을 제공하였으며, 이 경계 곡선들은 유한한 시간 범위 내에서 연속적이고 유계이다.