[논문 리뷰] A story of diameter, radius and Helly property

Feodor F. Dragan, Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 헬리 그래프 및 관련 클래스의 지름과 반지름을 효율적으로 계산하기 위한 알고리즘을 제시하며, 헬리 성질과 단조성 증가를 가지는 중심성 함수를 활용하여 $\tilde{O}(m\tilde{n})$의 시간 복잡도를 달성한다. $C_4$-free 헬리 그래프에 대해 선형 시간 알고리즘을 도입하고, 체이널 그래프에서 스플릿 그래프로의 환원을 제시함으로써, VC-차원이 유계인 체이널 그래프에서 진정으로 이차 이하의 지름 계산이 가능해지며, 지수 오차가 1 이내인 덧셈 근사에 대한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A graph is Helly if every family of pairwise intersecting balls has a nonempty common intersection. Motivated by previous work on dually chordal graphs and graphs of bounded distance VC-dimension we prove several new results on the complexity of computing the diameter and the radius on Helly graphs and related graph classes. * First, we present algorithms which given an $n$-vertex $m$-edge Helly graph $G$ as input, compute w.h.p. its radius and its diameter in time $ ilde{\cal O}(m\sqrt{n})$. Our algorithms are based on the Helly property and on several implications of the unimodality of the eccentricity function in Helly graphs: every vertex of locally minimum eccentricity is a central vertex. * Then, we focus on $C_4$-free Helly graphs, which include, amongst other subclasses, bridged Helly graphs and so, chordal Helly graphs and hereditary Helly graphs. For the $C_4$-free Helly graphs, we present linear-time algorithms for computing the eccentricity of all vertices. Doing so, we generalize previous results on strongly chordal graphs to a much larger subclass. * Finally, we derive from our findings on chordal Helly graphs a more general one-to-many reduction from diameter computation on chordal graphs to either diameter computation on split graphs or the {\sc Disjoint Set} problem. Therefore, split graphs are in some sense the {\em only} hard instances for diameter computation on chordal graphs. As a byproduct of our reduction the eccentricity of all vertices in a chordal graph can be approximated in ${\cal O}(m\log{n})$ time with an additive one-sided error of at most one, and on any subclass of chordal graphs with constant VC-dimension the diameter can be computed in truly subquadratic time. These above results are a new step toward better understanding the role of abstract geometric properties in the fast computation of metric graph invariants.

연구 동기 및 목표

• 지름과 반지름이 진정으로 이차 이하 시간 내에 계산 가능한 그래프 클래스를 규명하여, SETH 및 히팅 세트 추측의 난이도를 극복한다.
• 이미 알려진 이중 체이널 및 유계 VC-차원 그래프에 대한 결과를 더 넓은 클래스, 특히 헬리 그래프로 확장한다.
• 체이널 그래프에서 중심성의 $+1$-덧셈 근사에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 체이널 그래프의 지름 계산을 스플릿 그래프 또는 분리 집합으로의 환원을 수립하여, 스플릿 그래프가 체이널 그래프 지름 계산의 핵심 난이도를 지닌다는 것을 규명한다.
• 제안된 환원을 통해 VC-차원이 유계인 체이널 그래프에서 진정으로 이차 이하의 지름 계산이 가능하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 헬리 성질을 활용: 모든 쌍으로 교차하는 공의 가족은 공통의 교차점을 가짐으로써 중심성과 중심성에 대한 구조적 보장을 제공한다.
• 헬리 그래프에서 중심성 함수의 단조성: 국소적으로 최소 중심성을 가진 정점은 항상 중심 정점이므로 효율적인 탐색이 가능하다.
• 클리크-트리 기반의 중심점 기반 재귀 분해를 적용하여, 체이널 그래프의 중심성을 최대 1의 덧셈 오차로 근사한다.
• 체이널 그래프에서의 지름 계산을 스플릿 그래프 또는 분리 집합에서의 지름 계산으로 환원하며, 재귀적 부분그래프 분해 및 게이트 계산을 활용한다.
• Sauer-Shelah-Perles 정리를 적용하여 스플릿 그래프의 하위인스턴스의 VC-차원을 유 bounds로 제한하여, 이차 이하 시간 내에 해법이 가능함을 보장한다.
• 총 $O(\log n)$개의 재귀 레벨에 걸쳐 시간 분석을 통합하며, 각 레벨은 $O(w(T))$ 시간에 처리되어 총 시간 복잡도는 $O(m \log n)$이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헬리 그래프의 지름과 반지름은 진정으로 이차 이하 시간 내에 계산될 수 있는가?
• RQ2 $C_4$-free 헬리 그래프에 대해 선형 시간 알고리즘을 설계할 수 있는가? 이는 강력 체이널 그래프에서의 결과를 일반화하는가?
• RQ3 체이널 그래프의 지름 계산을 스플릿 그래프 또는 분리 집합으로 환원할 수 있는가? 이는 후자가 유일한 난이도 높은 인스턴스임을 보여주는가?
• RQ4 체이널 그래프의 모든 정점의 중심성을 $O(m \log n)$ 시간 내에 최대 1의 덧셈 오차로 근사할 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 VC-차원이 유계인 체이널 그래프에서 진정으로 이차 이하의 지름 계산을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 확률적으로 높은 확률로 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 시간 알고리즘이 임의의 $n$개 정점과 $m$개 간선을 가진 헬리 그래프의 지름과 반지름을 계산한다. 이는 헬리 성질과 중심성의 단조성을 활용한다.
• 선형 시간 알고리즘이 $C_4$-free 헬리 그래프의 모든 중심성을 계산하며, 이는 이전의 강력 체이널 그래프 결과를 일반화한다.
• 체이널 그래프 지름 계산에서 스플릿 그래프 또는 분리 집합으로의 일대다 환원이 성립함을 입증하였으며, 이는 스플릿 그래프가 체이널 그래프 지름 계산의 유일한 난이도 높은 인스턴스임을 보여준다.
• 체이널 그래프의 모든 정점의 중심성을 최대 1의 덧셈 오차로 $O(m \log n)$ 시간 내에 근사할 수 있으며, 이는 Dragan (IPL 2019)에서 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 모든 VC-차원이 $d$ 이하인 체이널 그래프에 대해 지름은 $O(mn^{1-\eta_d})$ 시간 내에 계산 가능하며, 이는 $\eta_d > 0$ 이므로 유계 VC-차원 클래스에 대해 진정으로 이차 이하 시간을 의미한다.
• 환원 과정에서 생성된 모든 스플릿 그래프 하위인스턴스의 VC-차원은 $O(d \log d)$ 이하로 유 bounds되며, 이는 기존 결과를 통해 이차 이하 시간 내에 해법이 가능하다는 것을 보장한다.