[논문 리뷰] A strengthening of the spectral color critical edge theorem: books and theta graphs

Mingqing Zhai, Huiqiu Lin|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 08.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 책 그래프와 썰티 그래프—두 가지 새로운 색깔 임계 그래프 클래스에 대해 스펙트럼 버전의 투란 유형 극한 문제에 대해 선형 임계값이 존재함을 입증한다: 그래프의 스펙트럼 반경이 $T_{n,2}$의 스펙트럼 반경을 초과하면, 그 그래프는 크기가 $> n/6.5$인 책을 포함하거나 길이가 $n/7$ 이하인 모든 길이의 사이클을 포함해야 한다. 이러한 결과들은 이 그래프 가족들에 대해 에르되시의 1962년 책 추측과 니키포로프의 사이클 길이 질문의 스펙트럼 유사체를 해결한다.

ABSTRACT

The chromatic critical edge theorem of Simonovits states that for a given color critical graph $H$ with $\chi(H)=k+1$, there exists an $n_0(H)$ such that the Turan graph $T_{n,k}$ is the only extremal graph with respect to $ex(n,H)$ provided $n \geq n_0(H)$. Nikiforov's pioneer work on spectral graph theory implies that the color critical edge theorem also holds if $ex(n,H)$ is replaced by the maximum spectral radius and $n_0(H)$ is an exponential function of $|H|$. We want to know which color critical graphs $H$ satisfy that $n_0(H)$ is a linear function of $|H|$. Previous graphs include complete graphs and odd cycles. In this paper, we find two new classes of graphs: books and theta graphs. Namely, we prove that every graph on $n$ vertices with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$ contains a book of size greater than $\frac{n}{6.5}$. This can be seen as a spectral version of a 1962 conjecture by Erdős, which states that every graph on $n$ vertices with $e(G)>e(T_{n,2})$ contains a book of size greater than $\frac{n}{6}$. In addition, our result on theta graphs implies that if $G$ is a graph of order $n$ with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$, then $G$ contains a cycle of length $t$ for every $t\leq \frac{n}{7}$. This is related to an open question by Nikiforov which asks to determine the maximum $c$ such that every graph $G$ of large enough order $n$ with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$ contains a cycle of length $t$ for every $t\leq cn$.

연구 동기 및 목표

• 색깔 임계 그래프 $H$ 중에서 스펙트럼 버전의 색깔 임계 간선 정리에서 $n_0(H)$ 가 $|H|$ 에 대해 선형이 되는 그래프를 규명하는 것.
• 니키포로프의 스펙트럼 투란 정리를 확장하여, 극한 임계값이 $|H|$ 에 대해 선형인 새로운 그래프 가족을 특정하는 것.
• 고전적인 극한 추측의 스펙트럼 유사체를 증명하는 것, 특히 에르되시의 1962년 책 추측과 니키포로프의 사이클 길이 추측에 대한 것.
• 스펙트럼 반경이 $\rho(T_{n,2})$ 를 초과하는 그래프가 크기가 큰 책과 긴 사이클을 포함하는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 그래프 이론을 사용하여 그래프 $G$ 의 스펙트럼 반경 $\rho(G)$ 와 완전한 2분할 투란 그래프의 스펙트럼 반경인 $\rho(T_{n,2})$ 를 비교한다.
• 인터라싱 기법과 고유값 경계를 적용하여 높은 스펙트럼 반경에서 유도되는 구조적 함의를 도출한다.
• 극한 스펙트럼 추론을 통해 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 이면 크기가 $> n/6.5$ 인 책이 존재함을 증명한다.
• 스펙트럼 안정성과 사이클 포함 정리를 사용하여, 이러한 그래프가 모든 길이 $t \leq n/7$ 의 사이클을 포함함을 확립한다.
• 기존의 책과 사이클에 대한 극한 결과를 활용하여 스펙트럼 임계값을 유도하고, 조합적 극한성을 스펙트럼 조건으로 변환한다.
• 귀납법과 구조적 분해를 사용하여 스펙트럼 반경이 높은 그래프에서 가장 큰 책의 크기와 가장 짧은 누락된 사이클의 길이를 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 색깔 임계 그래프 $H$ 중에서 스펙트럼 투란 정리가 $|H|$ 에 대해 선형 임계값 $n_0(H)$ 를 갖는 그래프는 무엇인가?
• RQ2 모든 그래프 $G$ 가 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 를 만족하면 크기가 $n/6.5$ 초과인 책을 포함하는가?
• RQ3 스펙트럼 반경 조건 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 가 모든 길이 $t \leq n/7$ 의 사이클 존재를 보장하는가?
• RQ4 스펙트럼 반경 임계값은 에르되시의 1962년 추측에서 극한 그래프 내의 책 크기와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 스펙트럼 반경 조건 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 가 길이 $t \leq cn$ 인 사이클을 암시할 수 있는 최적의 상수 $c$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트럼 반경 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 를 만족하는 순서 $n$ 의 모든 그래프 $G$ 는 크기가 $n/6.5$ 초과인 책을 포함하며, 이는 에르되시의 1962년 추측의 스펙트럼 유사체를 확립한다.
• 동일한 스펙트럼 조건은 $G$ 가 모든 길이 $t \leq n/7$ 의 사이클을 포함함을 암시하며, 니키포로프의 사이클 포함에 관한 열린 질문에 대한 정량적 해답을 제공한다.
• 이 논문은 책 그래프와 썰티 그래프를 색깔 임계 그래프의 새로운 가족으로 규명하여, 완전 그래프와 홀수 사이클에 이르기까지 이전 결과를 확장한다.
• 에르되시의 추측에서 고전적인 극한 임계값인 $n/6$ 에 비해 책 크기의 $n/6.5$ 를 향한 경계는 더 강력한 스펙트럼 보장을 보여준다.
• 결과들은 스펙트럼 반경 임계값이 특정 그래프 가족에서는 고전적인 극한 수량보다 더 강력한 구조적 보장을 제공할 수 있음을 보여준다.
• 증명 기법은 스펙트럼 그래프 이론과 고전적인 극한 조합론 사이의 다리를 놓으며, 스펙트럼 조건이 큰 책과 다양한 사이클 길이를 포함하는 조밀한 서브스트럭처를 암시할 수 있음을 보여준다.